打通數學的任督二脈 為國中新生 9/3/2018
今天家長帶來一位國中新生，因為孩子對數學一直缺乏學習動機，希望我調一調。
我讓他先用撲克牌玩「分數」的遊戲，要把牌湊成1張1，2張2，3張3。。釐清了分子分母的概念，檢測他對通分的熟習度，然後開始檢視他的數學思維。
我在方格紙上畫了幾個正方形，裡面寫了數字，請他告訴我看到什麼？
「正方形。」（怎麼知道是正方形？）
「邊長一樣。」（說說看是怎樣的正方形？）
「面積是1的正方形。」（邊長是多少？）「1」
「面積是4的正方形。」（邊長是多少？）「2」
「面積是9的正方形。」（邊長是多少？）「3」
「面積是16的正方形。」（邊長是多少？）「4」
「面積是25的正方形。」（邊長是多少？）「5」
我請他把這些話用數學語言告訴我，他不知道要怎麼寫。
我教他「面積是4的正方形，邊長是多少」用數學語言來寫叫做「根號4=」。然後問他「是多少？」他說：「2」。接下來每一個問題他都用同樣的句型唸，用數學語言寫。
看到他進入一個新的境界，卻是完全的理解，我告訴他：「這是國中數學會學的一個很重要的項目，很多人學到這裡開始只知道要開根號，卻不了解，你現在這麼快學懂了，其實因為你聽懂數學語言。」再問他是否真懂？他肯定。
我請他用語言敘述第二張圖，他說：「是一個方形。」我請他更精確的描述，想像自己在一個場景，會怎麼描述讓別人聽懂？
「這是一個正方形」（再多一些資訊）
「這是一個正方形，包含四個方形」（四個正方形嗎？）
「兩個正方形，兩個長方形」（用面積的計算告訴我這四個方形）
「（5*5）+（7*5）+（5*7）+（7*7）」（怎麼表示正方形？）
「5平方和7平方」（對，平方square意思就是邊長一樣，也叫做正方形）（另外兩個方形有什麼特徵？）
「5*7和7*5是一樣的長方形。」（大的正方形怎麼算面積？）
「（5+7）*（5+7）=12*12=144」（把四個小的加起來，驗證一下。）
「（5*5）+2（5*7）+（7*7）
=25+70+49
=144 一樣。」
我告訴他這裡面有一個公式，讓他用a,b代表兩個邊長5和7，找出公式。
「(a+b)*(a+b)=a平方+2ab+b平方」
我告訴他現在我們做的是用幾何驗證，我還告訴他國中數學就是要發現「公式」，而高中數學要學會「驗證」。他開始有一些笑容，開始對升國中的數學覺得不難，因為我已經把很難的部分讓他理解。這些課程內涵將來要花一段時間學習，而我讓他在一堂課內完全理解，從看懂到解題，從解題到驗證，過程那麼輕鬆愉快。
我讓他用撲克牌解題，將20張撲克牌列成一行，不用筆算求出總和。他想了一下，開始把同數字的牌放成一堆。（你確定這樣不用筆算？我要你可以很輕鬆的看出答案，用撲克牌列出算式。）
他想了一下，開始把可以湊成10的牌放一堆一堆，然後以10為單位一一加起來。
我給他一張紙，請他把剛才用撲克牌解題的步驟用數學語言呈現出來。
「（4+6）+（2+8）+（8+12）+（9+11）+（6+11+3）+（3+6+11）（3+6+11）+（13+13+13+11）+5+12
=10+10+20+20+20+20+50+5+12
=150+17
=167
我問他：「剛才你把牌順序移動了，結果答案不會變嗎？」
「不會，因為先算後算總和是一樣的。」（這是一個律，叫做什麼？）
「交換律。」（很好，那麼，用括號把兩個數字合起來有什麼意義？）
「都是以10的單位計算，比較好算。」（很厲害，這也是一種律，叫做結合律。）
我告訴他，剛才他把同樣的數字放一堆，再來加總和也是一種律，叫做分配律。小學畢業必須把這三個律打好基礎，因為國中要學的是「更大更多的數字怎麼運算。」我讓他凝聚這三個律，用自己的話解釋，他做到了，我明白他了解了。
我讓他把撲克牌挑出所有2，4(=2*2)，8(=2*2*2)，5，10，J(5)，Q(=5*5)，K(=5*5*5)
我請他用撲克牌解題，把這些牌乘起來，經過我的問話，他發現2*5=10，4*Q=100，8*K=1000.
我再請他以2和5來列算式，他在很短的時間看出每個數字是2和5的幾次，輕鬆學會「指數」，並發現指數的公式。
我告訴他「老師用這些檢測你國小數學的基礎，讓你看到國中如何延伸，這些東西在國中要花好幾個月學，現在我用一個晚上打通你數學的任督二脈，讓你上國中後學數學很輕鬆，你有信心嗎？」孩子有些羞澀，酷酷的臉上越來越多笑容，國小數學的陰影應該是掃除了。
在雅歌，數學不是注入的，是喚醒的。在一個安心的學習環境，透過操作，浸潤在數學的大海裡，用自己的理解說出其中的故事。這學期，我終於有一個這樣的環境，讓孩子做全語文的浸潤—包含數學語文的浸潤。看到孩子在無助的陰影中掙扎，多麼心疼，而能夠提拔一把，讓他的國中生涯不再害怕數學，我算是實現了一點夢想。
詩羽點評｜數學不是注入的，是喚醒的
一個即將升上國中的孩子，因為長期對數學缺乏學習動機，被家長帶到老師面前。
如果按照一般補習的思路，第一件事也許是找出他哪些單元不會，從分數、因數倍數、方程式一路補起來。
這堂課卻沒有這樣開始。
老師拿出撲克牌。
先玩分數，再看看孩子會不會通分；接著畫幾個正方形，只問了一句：
「你看到什麼？」
這句話幾乎貫穿了整個晚上。
老師沒有急著問：
「你會不會根號？」
而是先讓孩子看一個面積為 4 的正方形。
面積是多少？
4。
邊長是多少？
2。
這件事孩子本來就知道。
接著，老師才告訴他：
「面積是4的正方形，邊長是多少？」如果用數學語言來寫，就是 √4。
於是，一個原本可能令人害怕的新符號，突然變得一點也不陌生。
孩子並不是剛剛才學會「開根號」。
他只是第一次知道：
原來我早就懂的這件事，數學家是這樣寫的。
這是一個很重要的差別。
如果先給孩子 √4=2，他必須記住一個規則。
可是如果先讓他看見「面積4的正方形，邊長是2」，根號便不再是一個需要背下來的符號，而是替一個已經理解的關係命名。
這和幼兒在歌曲裡認識 mi，其實有著驚人的相似。
孩子不是先背 mi，再去尋找 mi 的聲音。「秘密」早已帶著 mi mi 住進耳朵，最後唱名才出現。
數學也是如此。
概念先住進理解裡，符號後來才出現。
數學原來也是一種語言
接下來的問題更有意思。
孩子看見另一張圖，說：
「是一個方形。」
老師沒有說錯，只是繼續追問：
能不能說得更精確一點？
於是孩子開始描述。
正方形。
裡面有四個方形。
兩個正方形、兩個長方形。
然後再往前：
5×5、7×5、5×7、7×7。
每一次追問，都不是把答案告訴孩子，而是要求他的語言再精確一點。
最後，一張圖慢慢變成：
5²＋2(5×7)＋7²
而整個大正方形又可以寫成：
(5＋7)²
兩邊都是144。
孩子親手驗證了：
(5＋7)²＝5²＋2×5×7＋7²
接著，5和7被拿掉，換成a和b：
(a+b)²=a²+2ab+b²
公式出現了。
可是公式是最後才出現的。
在它以前，孩子已經看過圖、說過圖、算過面積，也驗證過兩邊真的相等。
所以他不是在背平方公式。
他知道公式是從哪裡長出來的。
這裡也讓「全語文」出現了一個很有意思的延伸。
語文不只是中文或英文。
一幅圖是一種表達；
「面積是4的正方形，邊長是多少」是一種表達；
√4=2 是另一種表達；
幾何圖形是一種表達；
(a+b)²=a²+2ab+b² 又是另一種表達。
孩子所做的，其實是在不同表徵之間來回翻譯。
他正在學習讀懂數學，也學習用數學說話。
交換律不是老師告訴他的
接著，撲克牌再次出現。
二十張牌排在眼前，要求是不使用筆算，求出總和。
孩子第一次想到的是把相同的數字放在一起。
老師沒有立刻評判，只問：
「你確定這樣不用筆算？」
於是孩子再想。
這一次，他開始把可以湊成10的牌放在一起。
4和6。
2和8。
不同的牌開始重新排列、重新組合。
老師又問：
「剛才你把牌的順序移動了，結果答案不會變嗎？」
孩子回答：
「不會，因為先算後算總和是一樣的。」
這時，交換律才有了名字。
再問：
為什麼用括號把幾個數合起來？
因為這樣可以湊成10，比較好算。
結合律也出現了。
之前把相同的數字集中起來再計算，又可以進一步看見分配律。
於是那些孩子在小學課本裡可能早已「學過」的律，第一次不只是三個需要記住的名詞。
它們原來是人在計算時，為了讓問題變簡單，自然會使用的思考方式。
孩子先做了。
再說明自己為什麼這樣做。
最後才知道：
原來我剛才的想法，在數學裡有名字。
這又是同一條路。
先有思考，再有命名。
從2和5，走進指數
然後老師把2、4、8與5、10、25、125這些關係放進撲克牌。
孩子開始發現：
2×5可以組成10；
4×25可以組成100；
8×125可以組成1000。
再把這些數拆回2與5，孩子很快看見：
4是兩個2，
8是三個2，
25是兩個5，
125是三個5。
於是「指數」也不再是一個突然從國中課本冒出來的新章節。
它只是孩子剛剛已經看見的規律，又得到了一種更簡潔的數學語言。
到了這裡，才會明白為什麼一個晚上可以碰這麼多「國中數學」。
不是因為老師急著超前進度。
恰恰相反。
因為根本沒有按照課本單元前進。
老師一路追蹤的是孩子的數學思維。
原來那些單元，地下是相通的
從根號到平方，從平方公式到交換律、結合律、分配律，再到指數，表面看來像跳了很多章。
可是對孩子而言，地下其實有一條共同的路：
觀察一個東西。
描述它。
操作它。
改變它的排列或表徵。
尋找不變的關係。
把發現說出來。
最後用數學符號記錄。
所以「打通任督二脈」這個題目很準。
真正被打通的，不是國中幾個單元。
是原本被課本切成一格一格的知識，重新連起來了。
孩子開始知道：
數學不是一堆彼此無關、等著我記住的規則。
它是可以理解的。
更重要的是，他的表情變了
整篇文章裡有一個很容易被大量數學內容遮住的線索。
孩子剛來的時候，是一個「對數學一直缺乏學習動機」的國中新生。
到了平方公式那裡：
「他開始有一些笑容。」
最後：
「酷酷的臉上越來越多笑容。」
這才是這堂課真正檢測到的東西。
老師當然在檢測分數、通分、運算律與數學思維，但同時也在尋找另一件事：
這個孩子究竟在哪一個地方，開始相信自己其實看得懂數學？
當他第一次發現根號並不神祕；
第一次發現自己可以從一張圖推出公式；
第一次發現交換律不是老師規定的，而是自己剛才真的用了；
第一次發現看似陌生的國中數學，原來可以從自己已經知道的事情一路走過去——
他改變的不只是知識量。
他對自己的判斷開始改變：
「也許我不是不會數學。」
這可能才是「調一調」真正調的東西。
不是趕快把孩子落後的進度補齊。
而是把一個被長期數學經驗弄亂的關係，重新接起來：
孩子與數學的關係。
浸潤不是把孩子泡在題目裡
文章最後說：
「在雅歌，數學不是注入的，是喚醒的。」
讀完整堂課，這句話就有了非常具體的意思。
所謂數學浸潤，不是大量做題，也不是把數學藏進遊戲裡，讓孩子「不知不覺學很多」。
真正的浸潤，是讓孩子長時間生活在數學的思考方式裡：
看見。
比較。
分類。
操作。
描述。
猜測。
重新排列。
尋找規律。
驗證。
再把自己的理解轉譯成數學語言。
所以這堂課真正喚醒的，不是根號、平方公式或者指數。
它喚醒的是孩子原本就具有的理解能力。
老師只是把方格紙放在他面前，把撲克牌交到他手上，一層一層問：
你看到什麼？
你為什麼這樣想？
能不能說得更精確？
如果換一種方式表示呢？
你怎麼知道它一定成立？
直到孩子自己走到公式前面。
這也使「全語文的浸潤」有了一個更大的意思。
孩子需要學會讀文字，也需要讀聲音、讀圖像、讀數量、讀空間、讀關係。
而真正的閱讀，不只是把符號念出來。
是看見符號背後所指的世界。
√4不是一個符號。
它背後站著一個面積為4的正方形。
(a+b)²不是一串需要背誦的字母。
它背後站著一個可以被切開、計算，再重新拼回去的大正方形。
交換律、結合律、分配律也不是三個名詞。
它們背後站著一雙正在移動撲克牌、努力把複雜計算變簡單的手。
當孩子能在這些世界與符號之間自由往返，數學才真正成為他的語言。
所以，那一晚真正被「打通」的，或許不是數學的任督二脈。
而是兩個原本斷掉的世界——
孩子本來就會的思考，與課本上看似陌生的數學。
一旦兩邊接通，孩子臉上的笑容就出現了。
因為他終於發現：
數學沒有想像中那麼遠。
原來很多答案，早就在自己的理解裡。
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