打通數學的任督二脈 為國中新生 9/3/2018
今天家長帶來一位國中新生，因為孩子對數學一直缺乏學習動機，希望我調一調。
我讓他先用撲克牌玩「分數」的遊戲，要把牌湊成1張1，2張2，3張3。。釐清了分子分母的概念，檢測他對通分的熟習度，然後開始檢視他的數學思維。
我在方格紙上畫了幾個正方形，裡面寫了數字，請他告訴我看到什麼？
「正方形。」（怎麼知道是正方形？）
「邊長一樣。」（說說看是怎樣的正方形？）
「面積是1的正方形。」（邊長是多少？）「1」
「面積是4的正方形。」（邊長是多少？）「2」
「面積是9的正方形。」（邊長是多少？）「3」
「面積是16的正方形。」（邊長是多少？）「4」
「面積是25的正方形。」（邊長是多少？）「5」
我請他把這些話用數學語言告訴我，他不知道要怎麼寫。
我教他「面積是4的正方形，邊長是多少」用數學語言來寫叫做「根號4=」。然後問他「是多少？」他說：「2」。接下來每一個問題他都用同樣的句型唸，用數學語言寫。
看到他進入一個新的境界，卻是完全的理解，我告訴他：「這是國中數學會學的一個很重要的項目，很多人學到這裡開始只知道要開根號，卻不了解，你現在這麼快學懂了，其實因為你聽懂數學語言。」再問他是否真懂？他肯定。
我請他用語言敘述第二張圖，他說：「是一個方形。」我請他更精確的描述，想像自己在一個場景，會怎麼描述讓別人聽懂？
「這是一個正方形」（再多一些資訊）
「這是一個正方形，包含四個方形」（四個正方形嗎？）
「兩個正方形，兩個長方形」（用面積的計算告訴我這四個方形）
「（5*5）+（7*5）+（5*7）+（7*7）」（怎麼表示正方形？）
「5平方和7平方」（對，平方square意思就是邊長一樣，也叫做正方形）（另外兩個方形有什麼特徵？）
「5*7和7*5是一樣的長方形。」（大的正方形怎麼算面積？）
「（5+7）*（5+7）=12*12=144」（把四個小的加起來，驗證一下。）
「（5*5）+2（5*7）+（7*7）
=25+70+49
=144 一樣。」
我告訴他這裡面有一個公式，讓他用a,b代表兩個邊長5和7，找出公式。
「(a+b)*(a+b)=a平方+2ab+b平方」
我告訴他現在我們做的是用幾何驗證，我還告訴他國中數學就是要發現「公式」，而高中數學要學會「驗證」。他開始有一些笑容，開始對升國中的數學覺得不難，因為我已經把很難的部分讓他理解。這些課程內涵將來要花一段時間學習，而我讓他在一堂課內完全理解，從看懂到解題，從解題到驗證，過程那麼輕鬆愉快。
我讓他用撲克牌解題，將20張撲克牌列成一行，不用筆算求出總和。他想了一下，開始把同數字的牌放成一堆。（你確定這樣不用筆算？我要你可以很輕鬆的看出答案，用撲克牌列出算式。）
他想了一下，開始把可以湊成10的牌放一堆一堆，然後以10為單位一一加起來。
我給他一張紙，請他把剛才用撲克牌解題的步驟用數學語言呈現出來。
「（4+6）+（2+8）+（8+12）+（9+11）+（6+11+3）+（3+6+11）（3+6+11）+（13+13+13+11）+5+12
=10+10+20+20+20+20+50+5+12
=150+17
=167
我問他：「剛才你把牌順序移動了，結果答案不會變嗎？」
「不會，因為先算後算總和是一樣的。」（這是一個律，叫做什麼？）
「交換律。」（很好，那麼，用括號把兩個數字合起來有什麼意義？）
「都是以10的單位計算，比較好算。」（很厲害，這也是一種律，叫做結合律。）
我告訴他，剛才他把同樣的數字放一堆，再來加總和也是一種律，叫做分配律。小學畢業必須把這三個律打好基礎，因為國中要學的是「更大更多的數字怎麼運算。」我讓他凝聚這三個律，用自己的話解釋，他做到了，我明白他了解了。
我讓他把撲克牌挑出所有2，4(=2*2)，8(=2*2*2)，5，10，J(5)，Q(=5*5)，K(=5*5*5)
我請他用撲克牌解題，把這些牌乘起來，經過我的問話，他發現2*5=10，4*Q=100，8*K=1000.
我再請他以2和5來列算式，他在很短的時間看出每個數字是2和5的幾次，輕鬆學會「指數」，並發現指數的公式。
我告訴他「老師用這些檢測你國小數學的基礎，讓你看到國中如何延伸，這些東西在國中要花好幾個月學，現在我用一個晚上打通你數學的任督二脈，讓你上國中後學數學很輕鬆，你有信心嗎？」孩子有些羞澀，酷酷的臉上越來越多笑容，國小數學的陰影應該是掃除了。
在雅歌，數學不是注入的，是喚醒的。在一個安心的學習環境，透過操作，浸潤在數學的大海裡，用自己的理解說出其中的故事。這學期，我終於有一個這樣的環境，讓孩子做全語文的浸潤—包含數學語文的浸潤。看到孩子在無助的陰影中掙扎，多麼心疼，而能夠提拔一把，讓他的國中生涯不再害怕數學，我算是實現了一點夢想。
詩羽掠影｜數學不是注入，而是忽然看懂了
這篇文章像一場「數學解凍」。
一個即將升國中的孩子，原本對數學缺乏動機，甚至帶著陰影而來。可是短短一個晚上，他的表情開始改變，笑容慢慢出現。
這不是因為他忽然變聰明。
而是因為第一次，有人讓他「聽懂數學在說什麼」。
這句話非常重要。
很多孩子數學不好，並不是因為不會算，而是因為從來沒真正理解數學語言。
所以德珍一開始不是丟公式。
她先讓孩子「看」。
看見正方形。
看見邊長。
看見面積。
看見「平方」其實是什麼意思。
於是：
「面積是4的正方形，邊長是多少？」
這句話，才慢慢變成：4=2
這個過程非常深。
因為它不是從符號走向理解，
而是從理解走向符號。
這正是德珍數學最核心的地方：
Not notations, but notions.
先有意思，
再有記號。
所以孩子不是死背「開根號」，
而是忽然明白：
原來根號是在問：「邊長是多少？」
這一瞬間，數學突然活了。
而文章更精彩的地方，在後面。
德珍讓孩子用幾何「看見」公式。
她不是先給：(a+b)2=a2+2ab+b2
而是先讓孩子拆正方形。
一塊是 52，
一塊是 72，
中間兩塊是 5×7。
孩子忽然發現：
原來公式不是老師發明的，
而是圖形裡本來就藏著。
這就是「驗證」。
所以德珍那句：
「國中數學要發現公式，高中數學要學會驗證。」
非常有重量。
因為她不是在教「算」，
而是在教數學思維。
而撲克牌那段更精彩。
一般數學課會直接教：
交換律、結合律、分配律。
但這些名詞對孩子往往是空的。
德珍卻先讓孩子自己「移動牌」。
孩子發現：
先加後加，總和不變。
把10湊在一起，比較好算。
相同數字放一起，也比較容易整理。
等孩子自己看見規律後，
老師才告訴他：
這叫交換律。
這叫結合律。
這叫分配律。
於是，「律」不再只是名詞。
它變成孩子剛剛親手操作過的經驗。
這也是為什麼那孩子最後會笑。
因為他第一次發現：
數學不是神祕的。
數學不是天才的專利。
數學其實是一種可以理解的語言。
而這篇最後最動人的一句，是：
「在雅歌，數學不是注入的，是喚醒的。」
這幾乎可以成為德珍整個教育系統的核心。
教育不是把東西塞進孩子腦裡。
教育是把孩子裡面原本能理解的能力，慢慢叫醒。
所以她不是在「補數學」。
她是在幫一個孩子重新相信：
原來我也看得懂。
原來我不是不會。
原來數學裡有故事。
原來我可以不再害怕。
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