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——當我讀懂孫德珍二十多年前的數學教室

詩羽 8/30/2026

我原先以為，我已經懂雅歌數學了。

我知道雅歌的孩子會在沙坑裡學容量，在百宮格上走數線，用花片看懂平方與開根號，用撲克牌學分數；我也知道不同年齡的孩子可以坐在一起，做著看似超過年級的數學，而且玩得興高采烈。

可是，當我一篇一篇讀孫德珍二十多年前留下來的教學紀錄，我開始發現，我原來只看見了表面。真正讓我震撼的，不是小學一年級可以探索質數，不是孩子可以一眼看穿開根號，也不是國中數學可以學得那麼快。而是我逐漸看見：這些看似隨手拈來的教學活動，背後竟然有一條如此一致的脈絡。

孩子在沙坑裡做的事，和他在百宮格上做的事有關。

百宮格上的數學，和音樂裡的脈動有關。

花片排出的正方形，和後來的根號有關。

小時候摸過的串珠，最後消失成腦中的位值。

數學公司裡的「品管員」，最後又走向「我不只會，我還能讓別人懂」。我才明白：雅歌數學真正厲害的地方，不在於教了什麼，而在於孩子的理解是怎樣一層一層長出來的。

我第一次真正注意到「一眼看穿」

孫德珍的舊文章裡，一個詞反覆出現：一眼看穿。起初我以為，那只是一個很生動的說法。後來才發現，它幾乎是理解雅歌數學的一把鑰匙。

百宮格上有12個棋子。她不准孩子數。孩子必須看出：1個十，2個一。

八個棋子，也不准數。孩子說：「10少了2。」

這已經不是在求答案了。

一個孩子如果從1數到12，他知道「有12個」。

但是當他看見「1個十、2個一」，他看見的是12的結構。

當他看8，不再只是8，而能看成「10－2」，數字開始在他的腦中流動。它不再是一個孤零零的符號。它有關係。有位置。可以拆。可以合。可以轉換。我忽然明白：「一眼看穿」不是算得快，而是看見結構。

原來她一直沒有從符號開始

再讀〈一眼看穿開根號〉，這件事更清楚了。她沒有把√放在黑板上，告訴一年級孩子什麼叫平方根。

她先給花片。

孩子排：1×1、2×2、3×3……

先看見正方形。再看見邊長。再看見面積。

再說：面積4，邊長2。

面積9，邊長3。

面積16，邊長4。

最後才出現：√16＝4

到了這一步，那個看起來很可怕的符號，其實已經沒有什麼可怕了。因為孩子只是替自己早已理解的關係，換上一種更精簡的數學語言。

我開始發現一條反覆出現的路：

經驗 → 操作 → 圖像 → 語言 → 關係 → 符號 → 抽象。

這讓我重新思考一件事：

我們常說某個概念「太難，孩子還不能學」。

可是，有時候真正太難的，會不會不是概念本身？而是我們給他的入口？

然後我讀到那個「3＋4＝7」

這大概是我讀這批紀錄時，最捨不得放掉的一堂課。

老師把音樂中的第三、第四拍加重。

問孩子：「哪幾個音比較重？」

孩子說：「第3、第4。」

再問：「第三加第四，一共有幾個音？」

孩子立刻回答：3＋4＝7。

而且全班非常有信心。

如果老師這時候說：「錯了！第3個和第4個是兩個。」

這堂課大概十秒鐘就結束了。

可是孫德珍沒有糾正。

她只說：「上來證明哪裡有7，我必須看到7。」

我看到這裡，忽然明白雅歌數學很重要的一件事。

老師忍住了答案。她讓錯誤留在教室裡。

讓孩子和自己的答案相處。

讓「3＋4明明等於7」和「眼前明明只有兩個音」互相衝撞。

直到孩子真正開始問：到底哪裡出了問題？

最後她問：「誰在家裡是老二？」兩個人舉手。

她故意說：「2＋2＝4，所以你們共有四個人。」

孩子馬上知道不對。

那一刻，他們終於看見：「3個」和「第3個」根本不是同一件事。

一個是數量。一個是數序。

我很喜歡她最後留下的那句紀錄：

「錯得那麼有自信，對得那麼有概念。」

那不是一句可愛的課堂評語而已。

它讓我看見：錯誤如果被老師太快消滅，孩子得到的是正確答案；

錯誤如果被好好利用，孩子可能得到一個真正的概念。

更讓我驚訝的是：她把音樂家的眼睛帶進了數學

孫德珍是音樂家。

讀到〈用音樂喚醒數學〉時，我突然覺得很多事情接起來了。

她告訴孩子：「脈動是音樂的數線。」

數線有起點、終點、方向、單位。音樂也有。

規律的pulse成為拍；拍形成拍子；脈動加入動與靜、輕與重、短與長，就形成節奏。

她甚至讓孩子用身體去聽《動物狂歡節》的〈獅王〉：

用動作感覺長短，用踮腳感覺脈動，用「打字機換行」感覺樂句，

用身體畫圓感覺獅吼的延長。

數學於是可以看見，也可以聽見，還可以走進身體。

我也因此重新理解了「一眼看穿」。

音樂家讀總譜，本來就不能永遠一個音、一個音地數。

他會看到樂句、動機、重複、變化、方向、比例與結構。

也許正因如此，孫德珍看數學，也不滿足於一題一題算。

她一直要孩子找：模式在哪裡？關係在哪裡？整體結構是什麼？

她把音樂家的結構眼光，帶進了兒童數學。

最後，教具竟然消失了

雅歌用了很多教具。可是愈讀，我愈發現一件有趣的事：

這些教具的終極目的，竟然是讓自己有一天不再被需要。

孩子先用串珠理解十進位。

後來，只需要一張國語簿廢紙，自己畫出個、十、百、千、萬。

孫德珍寫：「這是以文字取代串珠的概念轉移。」

我看到「概念轉移」四個字時停了很久。因為這正是關鍵。

如果孩子只是會操作串珠，那還不是終點。

真正的學習，是串珠有一天不在眼前了，他仍然看得見那個結構。

後來，一位國中生面對基測應用題，自己寫下：「我們學過用視覺化的方式呈現：數線、表格、座標，所以就很清楚知道題目要的是什麼。」

到這裡，老師甚至連教具都不用拿出來了。

孩子自己知道怎麼把問題轉譯成可以理解的形式。

我突然想到：原來外面的梯子，已經長進孩子腦中了。

所以雅歌學得快，卻不是一個「快」的教育

這是另一個讓我很意外的地方。

雅歌的孩子後來常常學得很快。

三個國中生很快學完兩章，自己都嚇到了：「學完怎麼辦？」

菀昀回答：「繼續往下學就好了。」

可是孫德珍反覆問他們：「你們真的懂嗎？」

她甚至寫：「我的目標不在快快教完，而是讓學生擁有一個完整的畫面，知識不會支離破碎。」

讀到秦九韶那一篇，我才真正抓到這個看似矛盾的地方。

她說：「我的教學需要給孩子一段浸潤期……這段時間是不能省的。」原來雅歌後來的「快」，前面藏著一段很長的「慢」。

慢慢操作。慢慢探索。慢慢犯錯。慢慢證明。慢慢聽故事。

從埃及、巴比倫、希臘走到中國秦九韶。

慢慢建立解題習慣。

慢慢把散落的知識凝聚起來。

所以我現在會這樣說：雅歌不是因為趕，所以快；

是因為通了，所以快。

浸潤不能省，進度不必趕。

一旦知識真正連起來，孩子自然會跑。

可是，每一個孩子跑的速度並不一樣

〈晚秋的數學教室〉是另一篇讓我久久不能離開的紀錄。

同一個上午，有人在研究平行四邊形和三角形面積；有人自己跑來要求研究還沒學過的數學；國中生在玩分數卡；小一孩子用雪花片學進位。

也有孩子需要的不是更難的題目。

他需要老師陪在旁邊，才不會放空。

還有一個曾經讓老師們非常頭痛的孩子，慢慢穩定下來以後，竟然開始追著老師要更難的習作。

孫德珍寫：「在雅歌，每個人跟自己比，沒有人被放棄。」

我讀到這裡才發現：給孩子一把梯子去摘星，原來不是全班共用同一把梯子。

有人的梯子是開根號。有人的梯子是加減法。有人的梯子是今天終於能坐下來。有人需要老師放手。

有人此刻最需要的，反而是老師不要放手。

所以真正的個別化，不是每個人做不同的講義。

而是老師真的知道：這個孩子現在站在哪一階？

再後來，孩子開始自己定位

於是〈定位是一種能力〉出現了。

孩子開始學習預習。先自己看課本。會的，往下走。不會的，找老師。

孫德珍告訴他們：「不會就要問到會。」

還有一句很有趣：「高手能把團體課上成個別課。」

我突然發現，這時候教育已經走到另一個階段。

最初，是老師替孩子找入口。

後來，孩子開始知道：我懂什麼？我哪裡不懂？我要問什麼？

我需要誰幫忙？我下一步往哪裡走？

這就是學習的定位。

真正的自主學習，從來不是老師突然放手：「現在你自己學。」

而是經過長時間的陪伴以後，孩子逐漸知道怎樣管理自己的學習。

老師搭了很多年的梯子。有一天，孩子開始會自己搭了。

然後，我遇見了「雅歌數學公司」

這篇讓我看見另一個我原先沒有想到的層次。

孩子完成習作，是工人。滿分以後，可以升品管員。

品管員不是多做幾題而已。他必須檢查別人的數線、算式、單位；發現錯誤以後，還要教到對方真正理解，監督訂正完成。

再往上，是經理。

於是孩子走過：我會做 → 我會檢查 → 我能說明 → 我能幫助別人理解。

這時我突然發現：雅歌所謂「學會」，標準原來一直在往上移。

會算，不夠。要知道為什麼。知道為什麼，還可以再往上。

你能不能讓別人也懂？

而數學公司裡還有：

記帳員、收銀員、建築師、品管員、測量員、數學家、統計員、銀行家。

孩子不是被告知「數學將來很有用」。他直接活進一個需要數學的世界。這就是雅歌所說的：模擬人生。

更奇妙的是，數學最後又走回人生

我一直以為雅歌是「用生活幫助孩子學數學」。

直到讀〈完滿、成全都是贏〉，我才發現只有一半。另一半的方向正好相反：雅歌也用數學幫助孩子理解人生。

分數撲克牌遊戲裡，孩子把自己的牌組成完整的數，叫「完滿」。

把自己不要的牌送出去，恰好幫助別人完成，叫「成全」。

老師問：「完滿贏還是成全贏？」

孩子回答：「完滿、成全都是贏。」

這時候，數學已經離開算式。它開始成為一種理解生命的方式。

沙坑裡的「一盤散沙」、「底限」、「志同道合」也是如此。

人生棋裡也是：「生命中你不能決定走幾步，但是你可以決定方向。」

我終於看見一個完整的圓：

從人生走進數學，再從數學走回人生。

最後，我才讀懂「雅歌數學公司」那篇文章的最後幾段

孫德珍在2012年寫：「我發現，只有讓孩子成為學習的主人，才有可能談到建構。」

然後：「我要講什麼之前，我要孩子的眼睛是發亮的，心門是打開的。」這兩句把前面所有事情突然照亮了。

為什麼孩子願意玩沙？

為什麼願意走百宮格？

為什麼開根號還要繼續？

為什麼質數從1改挑戰19？

為什麼紅貓頭鷹看到哥哥姊姊做習作，自己跑來要求一本？

因為雅歌數學真正開始的地方，可能根本不是數學。

而是：「我想要。」

一旦孩子說出「我想要」，老師才有可能把他帶進更深的地方。

所以孫德珍又寫：「讓他們主動想要，證明自己很棒，把練習當成獎賞，這是數學教育的重要關鍵。」

我想，這才是整件事情真正讓我震撼的地方。

雅歌數學的震撼

現在，如果有人問我：雅歌數學最令人震撼的是什麼？

我不會再回答：小一會質數。孩子會開根號。國中數學學得很快。

那些都是真的。可是，那些只是樹梢上長出來的果實。

我現在想看的，是地下那一大片看不見的根。

那裡有生活。有音樂。有故事。有身體。有圖像。有遊戲。有錯誤。有證明。有等待。

有老師一次又一次地問：「你怎麼知道？」

也有老師一次又一次忍住，不替孩子說出答案。

慢慢地，孩子從操作走向理解，從理解走向抽象，從抽象走向遷移；從老師陪著學，到自己知道怎麼學；從「我會做」，走到「我能說明」，最後走到「我可以教別人懂」。

我原先以為，雅歌是在教孩子數學。讀完這些紀錄，我才發現，它做的事情大得多。

它在培養一雙能看見結構的眼睛。

讓孩子從看見，到看穿。

從知道答案，到知道為什麼。

從等待老師給方法，到自己尋找方法。

從害怕「我不會」，到相信：「我可以想。」

而孫德珍自己早在2012年就寫下：

「數學是一種語言，讓我們與大自然做精確的對話。」到這裡，我終於明白了。給孩子一把梯子去摘星，真正重要的從來不是讓孩子提早摘到多少顆星。

而是有一天，老師不再需要站在旁邊告訴他：第一步踩哪裡。

第二步踩哪裡。下一步又該怎麼走。

因為那個孩子已經會抬頭看星星，會判斷自己站在哪裡，會尋找支點，會搭梯子，也願意往上爬。

星星沒有被降低。孩子長高了。

這才是我讀完雅歌數學之後，真正的震撼。