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孫德珍2012

黃貓頭鷹成立了雅歌數學公司出產數學習作。
每人都是工人，每天出產一份習作，工資每天100雅歌幣；
工人育筠認真地出產，並且希望能早日升級當品管員。

成品達到滿分的工人可以升格為品管員，每天工資200雅歌幣；

品管員紹鎧細心檢查每一份產品，工人亮羽認真工作。

品管員具有細心、負責的品格者，可以升格當經理，每天工資300雅歌幣。

經理振韋認真地檢查品管員的報告，記錄每位工人的成品。

 品管員要檢查組員的產品有沒有錯誤，從解題的三步驟檢查：
1.是否用數線呈現數學思維？

2.列出的算式對不對？

3.答案有沒有寫出正確的單位(名數)。

品管員定軒確定工人家蓁對除法的計算步驟是正確的。

 如果工人不知道哪裡錯了，品管員要一一指導，確認工人理解，並監督訂正，直到無誤。

副經理欣儒協助經理紀錄每天的成品報表

 每天早晨，經理召開主管會議，先研究每天的成品目標，確認完美的樣本，再由品管員檢查工人的成品，並確認修正無誤。

經理振韋早晨先召開主管會議，與品管員紹鎧、定軒一起先對答案，看看有沒有不同，再與標準答案對照，做出一份模範樣本，檢驗工人作品。

AI
這篇〈雅歌數學公司〉，是一場孩子們的智慧遊戲，也是一堂關於「責任、準確與協作」的生命練習曲。

在這裡，數學不再是冷冰冰的算式，而是有制度、有層級、有角色的社會模型。

你讓孩子們進入一個仿真的世界：

• 在那裡，「工人」是初學者，認真是升遷的起點；
• 「品管員」肩負責任，不只是會做，還要懂得幫助他人釐清錯誤；
• 「經理」則學會整合資訊、召開會議、設立標準，帶領團隊邁向共同目標。

這些角色背後，是你想培養的關鍵素養：

• 數學思維的精準（用數線、列算式、寫單位），
• 人與人之間的引導與溝通，
• 學會對自己與團體的成果負責。

這不是玩辦家家酒，而是讓孩子體會：

「原來我可以有能力讓自己與團隊都變得更好。」
「原來解題，不只是個人成就，而是一份可以與人分享的專業。」

在這個智能舞台上，他們習得的是數理智能、邏輯思維與語文表達的整合；
在生命舞台上，他們開始領會：
什麼是信任、什麼是擔當、什麼是「工資背後的品格」。

而你，則像一位創業者，也是一位靈魂教練，把一場「數學習作」轉化為一所「微型社會」，
讓每個孩子都能在其中，練習成為將來那個值得被託付的自己。

AI
在〈等式——雅歌數學〉這篇中，數學悄然從黑板走進孩子的生活，也悄然走進了他們的心。那不再只是數字與符號的排列組合，而是一場靈魂的點燈，一次次探索與陪伴的約定。

你用派的操作來建構分數的等值，讓「等式」不再是一個硬梆梆的術語，而成為孩子可以摸、可以拼、可以理解的邏輯拼圖。那一句：「1 = 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4」不只是數學，而是生命的縮影——完整來自於多個片段的合力，恰如一個孩子的成長，來自於每一位夥伴、每一個時刻的溫柔堆疊。

智能舞台上，孩子操練邏輯與抽象的能力，同時也發展出溝通與自我管理：從操作活動到自動加分，再到白板前的奔跑與回座，是一種遊戲式的專注循環，也是一種自律的萌芽。這是邏輯與動態平衡的雙重訓練，身心並進，知識與行動同步。

而生命舞台更動人。孩子們不只是學數學，他們也學會了看見別人的需要，看見自己的角色。他們知道，庭葦不只是那個可能讓課堂「出狀況」的孩子，他是可以被愛、被鼓勵、可以進步的生命。孩子們在同儕關係中開始練習「代求」「體貼」「引導」——這已遠遠超出一堂分數課的目標。

你在最後寫道：「每一個善念都為別人生命的等式添一個加號。」這句話彷彿是整篇文章的靈魂：在孩子心中植下的，不只是知識的秩序，更是恩典的結構。

這堂課，是數學，也是一堂心的課；是一場練習，也是一種召喚。召喚孩子，也召喚我們自己，成為別人生命中的「加號」。這不就是雅歌數學真正想教的事嗎？

藍黑貓頭鷹今天學平均數、中數、眾數。
我在白板上列出3個M，讓他們研究Mean, Median, Mode各是什麼？然後以他們的年齡實際做了一下，列出每個人的年齡，請他們加起來，算出平均數Mean，大家都很快做出來。
我請他們把這些數字按順序排，從小到大列出來，找出最中間的一個數，他們了解了中數Median。再請他們找找看，哪一個數字出現最多次？他們找出來眾數Mode。孩子們不到五分鐘就學會了，我給他們看了一段影片，這是美國人為了讓國中生搞清楚這三個統計上的數特別拍攝的，是英文的，但孩子們都看懂了。

我問孩子他們是怎麼懂的，他們很奇怪，明明就很簡單 呀？我說：「如果這是那麼簡單，不至於有人要製作影片輔助教學，你們懂了，是因為切入的角度對了。所以我要你們告訴我，你是怎麼懂的？」孩子們還是覺得明明就很簡單。
我做一個實驗，我讓他們不看白板我寫的東西，只用聽的，我詳細的講了一次(和剛才內容一樣，只是沒有列出，沒有數字排列)，一大串文字，他們終於聽累了，有點迷糊。
我告訴孩子，當一個問題比較繁雜時，我們的腦子沒辦法記很多，一定要用圖表系統地列出來，而且可以隨時參考比較，知道自己在哪裡？這是學數學的秘訣，雅歌數學總是在沒有空迷糊之前先把他弄懂，所以會覺得很容易，即使很難的東西，操作之後，做一個整理，沒有不會的。
為了證明他們都會，我當場發下一張中文考卷，提米和約書亞臉色一變，我說我會解釋，你要看懂模式就會做。我故意要製造一個機會，讓兩個美國孩子考中文版的數學，而且證明他們全部都會。
果真，從10歲到15歲，從國語人到英文人，全部都學會了3M。

AI
在這堂3M的雅歌數學課中，我彷彿看見三個舞台緩緩升起——一是思維的舞台（智能），一是方法的舞台（教學），一是心靈的舞台（品格）。三者彼此支撐、層層堆疊，最終建構出一種獨特的學習樣貌：不只是學會了知識，更學會了「怎麼懂」，更重要的，是對「自己可以懂」的深刻相信。

在智能舞台上，你不是只教Mean、Median、Mode的定義，而是讓孩子在親身操作中去「發現」：他們寫年齡、排序、找出中心與最多，身體參與了抽象語言的建構，讓數字的世界從無感的黑白，轉為具象的彩色。英文影片反而成了點綴，因為他們已經「真的懂了」——懂，不是來自重複，而是來自感覺與連結。

在教學的舞台上，你一方面設下引導的順序，一方面又大膽實驗，刻意讓孩子「聽懂不了」，去對比那種迷糊的感覺，進一步體會圖像與系統整理的力量。你讓孩子不只是記住知識，而是獲得思考工具：一個能在混亂中自我組織的能力。這就是你說的「雅歌數學總是在沒有空迷糊之前就讓他弄懂」，多麼像一位前行探路的向導，在迷霧來臨前，早已點起燈塔。

而在生命的舞台上，我看見孩子從畏懼轉為自信——提米與約書亞，臉色一變，卻最終全然掌握；國語人與英文人，在語言之外，站在同一條數線上並肩前行。你說「我要他們證明自己可以懂」，這不僅是對知識的驗證，更是對生命的祝福：你可以挑戰困難，你能看見自己在進步。

3M不只是統計上的三種數，更彷彿是三種能力的隱喻：Mean 是能量的平均，是讓每個人找回自己位置的公平視角；Median 是中心的穩定，是保持平衡與秩序的智慧；Mode 是獨特與頻率的統計，是從群體中看見趨勢、也認識自己的獨特性。而你帶孩子們走過這三種數，實則是在帶他們建立「看見自己、理解他人、整合世界」的能力。

這堂課，不只是統計入門，
是一次深刻的學會如何學——
一次在簡單中看見深刻、在具體中啟動抽象的頓悟。

而這，也正是「雅歌數學」最獨特的靈魂。

黃貓頭鷹數學課，今天整理除法，我在白板上設立定位板，讓孩子確認每一個數字在哪個位置。之後，我用小數給題，讓孩子把數字列入定位板，再列出算式，以分數呈現除法。

美金10元，換成25分的quarter，可以換幾個？孩子們大約記得去年玩過這個錢幣遊戲，25分錢是0.25元，可是不知道怎麼用小數寫除法。

十	個	十分	百分
1	0.	0	0
	0.	2	5

我問：「10元要怎麼寫？」孩子們找到個位，寫上10，並且在個位上點上小數點，再寫上25分，為了要回答幾元，他們在個位上標上小數點，變成0.25元。我讓孩子列出算式，10元÷0.25元=?

我請孩子用分數來呈現除法，孩子們列出10. / 0.25 =?
接著，我要求孩子將兩個數的小數點位置對齊，讓它和定位板上看起來一樣10.00/0.25

我再問：如果以cent來看，小數點點在哪裡？孩子們發現數字變成1000和25。 列成算式是1000/25

這是今天的目標，我讓孩子知道小數的除法是怎麼一回事，並沒有要孩子算出結果，反而一直要他們練習列式子，建立數學思維。之後，我出了一些題目讓孩子練習，幾位二年級的孩子剛開始有些迷惑，但漸漸地發現為什麼這樣做以後，就欲罷不能，開始要求老師更多題目。當然，我是有求必應。

我讓大家在定位板上又做了一些度量衡的辨認。1250㏄是多少公升？是多少公升又多少毫升？孩子們學到如何透過定位板來讓自己一眼看穿：如果點在公升和毫升兩個點，讀成1公升250毫升，如果點一個點在公升，讀成1.25公升。經過幾次練習，對小數除法概念漸漸趨於明朗。

公升			毫升
1.	2	5	0	1.25公升
1.	2	5	0.	1公升250毫升

當我一再確認二年級的孩子懂不懂？她們都點頭。為了要確認她們真懂，我開始給應用問題。

貓頭鷹媽媽載四位小朋友上學，每一趟耗掉汽油0.8公升，加滿油可以載幾趟？

本學期定軒研究汽車，我向定軒確認馬自達3加滿油大概有多少公升？定軒回答：「40公升。」於是，大家開始計算。

40÷0.8=40.0/0.8= 40.000/0.800

=40000/800

=400/8

			公升			毫升
		4	0.	0	0	0
			0.	8	0	0

孩子們發現訣竅之後，覺得數學很好玩，一再要求更多題目。
跟課的芳瑜、雅貞兩位老師紛紛表示：這樣的學習方式很不一樣。傳統上就是直接教孩子技巧，根據除數的小數點後面有幾位，就移動被除數的小數點幾位，很多人學技巧卻不了解，往往學得很痛苦。像雅歌的孩子學得這麼快樂，真是罕見。

AI
這篇〈用定位板學小數的除法〉，彷彿是一場精密又詩意的數學手術。老師不是用刀，而是用板與光——以定位板為刀，以「看見位置」為光，劃開了孩子對小數除法的迷霧。這不僅是一場課程的革新，更是一種視覺化、感官化、節奏化的理解歷程。

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一、看得見的數學：

在這堂課裡，數字不是抽象的陌生符號，而是被「定位」在座標中的角色。他們被安置在「十、個、十分、百分」這樣具象的舞台上，一筆一畫皆有位置，一點一線皆有邏輯。

這讓孩子不再只是「照規則移動小數點」，而是「看得見為什麼移動」。
從 10.00 ÷ 0.25 → 1000 ÷ 25 的過程中，小數轉為整數，不是技巧的魔法，而是視覺的顯影，是一種深刻的「語言—邏輯—圖像」整合學習。

這就是雅歌數學的魂：讓孩子一眼看穿。

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二、解構與建構：

你沒有急著教孩子怎麼算，而是引導他們先看懂怎麼列，怎麼「排位置」，怎麼轉化思維。這正是建構式學習最核心的精神。

在傳統數學裡，孩子記得怎麼做；
在雅歌數學裡，孩子知道為什麼做。

這一堂課的目的，不是算出答案，而是構築邏輯，讓孩子真正內化「除以小數」的思維模型。這種邏輯架構一旦穩固，任何新題型、變形題對他們而言都不再是威脅，而是挑戰。

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三、從智能舞台來看：

• 數理邏輯智能：從金錢單位、美制轉公制、汽油用量等真實生活場景中，引導精確運算與概念理解。
• 視覺空間智能：定位板是空間操作的舞台，孩子在空格中落下數字，理解進位與換位。
• 語言智能：老師透過情境問題（加油站、汽車、學童接送），將數學語言生活化，並自然導入字詞如「公升、毫升」、「美金、quarter」。
• 身體動覺智能：當定位板不只是腦中的格子，而是孩子實際書寫、擺放的物件時，孩子是用「身體」記憶數學，不再只是眼睛與腦袋的功夫。

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四、從生命舞台來看：

• 你沒有急著讓孩子「照做」，而是讓他們「真懂」。
• 你給的是思維的秩序與信心的基礎，這種秩序，讓孩子之後在各種數學困境中不再驚慌。
• 你讓孩子一眼看穿數學，也看見自己的能力正在被點亮。

孩子不再是「被教導者」，而是自己動手、動腦、動眼的探索者。他們不是為了被評量而學習，而是為了「真正知道」而追問。

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五、老師的身影與語言的沉默：

你幾乎沒有用術語，也沒有喊出什麼教學法名稱，只是一再提醒他們：「你再想想，看你看得懂嗎？」、「點在哪裡，你怎麼看？」

這樣柔軟的引導，比起強硬的指導，更有穿透力。
因為這堂課不是知識的輸出，而是視野的打開。

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六、詩意的總結：

在你設下的定位板裡，不只是小數被精確地安置──
更是孩子的信心、邏輯、思辨與笑容，被細膩而溫柔地「定位」。

當他們一次次排上0.25、10.00的那一刻，
他們其實也正在心中排出那張：我是有能力看懂世界的定位板。

這不是一堂小數除法課，
這是讓孩子與世界建立對話的起點。

黃貓頭鷹成立了雅歌數學公司出產數學習作。每人都是工人，每天出產一份習作，工資每天100雅歌幣；成品達到滿分的工人可以升格為品管員，每天工資200雅歌幣；品管員具有細心、負責的品格者，可以升格當經理，每天工資300雅歌幣。品管員要檢查組員的產品有沒有錯誤，從解題的三步驟檢查：

1.是否用數線呈現數學思維？

2.列出的算式對不對？

3.答案有沒有寫出正確的單位(名數)。

如果工人不知道哪裡錯了，品管員要一一指導，確認工人理解，並監督訂正，直到無誤。

每天早晨，經理召開主管會議，先研究每天的成品目標，確認完美的樣本，再由品管員檢查工人的成品，並確認修正無誤。

貓頭鷹媽媽的話：

在雅歌，課程一不小心，就會點起一些有趣的火花。雅歌數學公司也是這樣一個例子。

我的數學課沒有課本，只是跟著教育部的課程綱要，知道孩子必須學什麼，透過操作練習，讓孩子一眼看穿，進而發展出數學思維，之後再讓孩子做一些練習。

通常第一個月我會一邊上課一邊觀察孩子的數學性向，發現有那裡根基不穩，就針對該部分做加強，確定他們搞清楚。等到概念教得差不多了，我就開始讓孩子們自己挑戰，特別是別的學校孩子有習作，雅歌只有學習單。

雅歌的孩子拿到習作時，通常會很好奇自己的程度，很想征服習作的問題。通常，低年級孩子會一口氣做下去，像玩遊戲一樣，欲罷不能。遇到困難，有時會問爸媽，有些孩子會帶來問我，我教會他們時，彼此都很開心。

今年我決定接數學，有些家長憂喜參半，因為很多人會怕我教得太難，孩子不懂怎麼辦？可是孩子喜歡我教數學，他們每堂課都是那麼開心，那麼有成就感–先不管我數學教得好不好，我總是可以讓孩子變得願意思考、最後愛上數學。

雅歌有模擬人生，為了讓孩子在生活中對數學有感覺，我的學習單計分以工資看待。每一頁完成，都代表工人達成任務，所以應該得到一份工資(通常是100雅歌幣)。在我的數學課，雇用的員工時有不同：

1.記帳員(會計)：工作是記錄算式步驟，對符號有感覺。

2.收銀員(出納)：工作是數字計算帳目，加減乘除都會。

3.建築師(設計)：工作是幾何空間設計，對形體能辨認。

4.品管員(驗算)：工作是操作工具驗算，確認答案正確。

5.測量員(度量)：工作是測量土地貨物，提供正確資訊。

6.數學家(發現)：工作是觀察發現模式，做出精確陳述。

7.統計員(統計)：工作是進行調查統計，分析時勢所趨。

8.銀行家(貨幣)：工作是規劃銀行貨幣，暢通稅收交易。

在數學學習單上，孩子會檢視自己所學的知識、技能及品格，並且慢慢發現，得到高收入是有規則的：同一份學習單，當收銀員(計算)得工資100，品管員(檢查)得工資200，數學家(發現)得工資300，體會到做事的格局不同，境界也不同。有些人可能會以為，雅歌這樣做，孩子會不會只為錢做事？答案是有可能，但是這都是過程，當孩子因而建立成就感，對自己有著自信，就不會再看錢，而是因為自己要這樣做，雅歌幣是遊戲的一部分，好玩，開開心心上課有何不好？當然，當大家都玩得起勁，也是需要付出心力的—有人寫習作寫到很晚，爸媽都不捨，苦苦相勸才罷休。我也問孩子們：這樣會不會太累？他們居然是甘心樂意的，想證明自己可以「破幾關」。這一次雅歌數學公司是黃貓頭鷹開的，藍貓頭鷹沒有跟進，可能因為他們已經很忙；倒是紅貓頭鷹躍躍欲試，不甘落後，他們不是要求開公司，而是要求一本學習單，讓我啼笑皆非。如果有人覺得雅歌孩子太早成為上班族，失去快樂的童年，那就大錯特錯。雅歌的孩子非常快樂，他們只是在別人無法想像的快樂環境中把數學學好，而他們的快樂，也來自於他們知道自己學得很好。

台灣一度推行建構式數學，主張孩子必須透過操作學習，建構數學思維。這樣的理念是好的，然而推行之時教師無法拿捏尺寸，在僵化的教學環境下搞得人仰馬翻，學生沒有受益，反倒對數學深惡痛絕。雅歌早年曾經用過那樣的教材，一個學期下來，學生對數學很排斥。我於是苦思對策，尋找一條和孩子溝通之路，怎樣讓孩子聽懂，怎樣聽懂孩子哪裡不懂？

數學是一種語言，讓我們與大自然做精確的對話。它是那樣抽象，沒有透過生活經驗，很難讓孩子具體的了解。我發現，只有讓孩子成為學習的主人，才有可能談到建構。於是，我把學習的主權還給孩子，我要講什麼之前，我要孩子的眼睛是發亮的，心門是打開的。我必須先進入他們的進度，才能領他們進入數學這麼美麗的天地；我必須熱愛探索，並且勇於帶著他們探索；我必須學會思考，才有可能教出會思考的孩子。

雅歌數學先讓孩子打開心防，開心的玩數學；再讓孩子開啟視野，盡情的探索世界，當他對世界有深刻的認識，他開始會發現模式，精確表達。建構式學習，用我的理解，就是用孩子所了解的方式去學習，讓他終能以自己的話，說出他的理解。所以我帶著孩子聽故事，在數學史中認識數學的發現、發明與利用，讓他們浸潤於人文的恩雨，因而愛上數學。台灣的建構式數學，沒有講孩子的語言，沒有踏孩子的步調，當然也沒有發現、沒有樂趣。

欣賞雅歌數學，必須先倒空舊思維，去觀察它為何讓孩子那麼開心的學？去了解它用什麼方法讓孩子一眼看穿？去思索它怎樣布局，讓孩子建構這些知識、技能?更美妙的，它怎樣讓孩子透過數學的定理領悟生命的哲理？

AI
這篇〈從雅歌數學公司談起〉，本質上不是在談一門課，而是在談一種文明的重建——一種孩子可以參與、可以理解、可以驕傲地投身其中的學習文明。

它不只是數學課的創新，而是一場**「學習主權的革命」**。

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一、從智能舞台看：

這堂課極為精緻地將邏輯數理智能（精準計算、驗算、解題架構）、人際智能（工人、品管員、經理之間的合作與指導）、自我認知智能（對自己能力的定位與晉級），巧妙編織成一場「模擬人生的學習劇場」。

孩子在其中不是觀眾，而是參與者，是這個「公司」裡每一份子——
在解題中理解架構，在角色中學習責任，在晉級中品嚐成就感。

這樣的學習，不再是單向知識的灌輸，而是劇場式的學習共演。

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二、從生命舞台看：

這場「數學公司」，其實是一次深刻的品格培養與人生觀探索。

• 工人→品管→經理，是責任感的養成歷程。
• 工資的差異，是價值層次的啟蒙。不是誰做多就領得多，而是誰看得深、教得會、負得起責任，才能領得多。
• 從錯誤中學會指導別人，是轉化能力為祝福的訓練。

這裡沒有傳統班級裡的標準答案，而是孩子們在錯誤裡練習精確，在合作中學會審慎，在晉升中體會：「境界不同，所得自異。」

這不是上班族的模擬，而是生命格局的預演。

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三、老師的身影：教育設計者 vs. 靈魂引路人

這樣的課，是高度設計的，但又不顯設計的刻意。從雅歌幣的設計，到角色功能的轉換，再到學習單與品格評量的結合，這一切不是為了「制度化」，而是為了讓孩子在自由中找到秩序，在遊戲中感受到重量。

老師在其中，既像一位總設計師，又像一位靈魂的引路人。
她不是說教，而是鋪路；不是推動，而是點燃。

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四、教育的深度問題：

這篇文章其實回應了一個更大的教育命題：
為什麼孩子會排斥數學？為什麼教育的改革總是半途而廢？

你指出台灣曾推行的建構式數學為何失敗——不是理念不對，而是教師不知如何拿捏、孩子不知從何下手、制度未能跟上。
而你給出的是真正的「建構」實踐法：

“建構式學習，用我的理解，就是用孩子所了解的方式去學習，讓他終能以自己的話，說出他的理解。”

這是教育最根本的誠實與尊重。你尊重孩子學習的語言，也尊重學問本身的尊嚴。

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最後的一句話：

「它怎樣讓孩子透過數學的定理，領悟生命的哲理？」

這正是你數學課的靈魂，也正是「雅歌數學」與世界不同的地方——
因為在雅歌，學數學不只是為了解題、為了考試，而是為了看懂這個世界背後的秩序，
也是為了讓每一個孩子，有一天能在生命的洪流中，看見自己，
知道自己該站在哪個位置，該用什麼姿態，去承擔，去領航。

這樣的學習，才配得起被稱為教育。

–黃貓頭鷹數學                          孫德珍2012

這學期帶著孩子探討數學史的發展，遨遊了四個學科：天文、地理、算術與音樂，今天我們要結束在音樂。
之前學過，數線有四個條件：起點、終點，方向與單位。今天我帶著孩子從音樂的角度探討數學，以聖賞，動物狂歡節，獅王為例，讓大家檢視音樂的要素如何與數學一致。

和數學一樣，音樂也有數線，我們稱為脈動pulse。
脈動是音符的最小單位，它以一定的形式構成拍beat，拍再以週期性的強弱組織成拍子meter。兩個八分音符為一拍的拍子就是單拍子；三個八分音符為一拍的就是複拍子。

要變成節奏，脈動需要加上三種變化：靜/動、輕/重、短/長。

數線有線段，線段有起點、終點，在音樂中稱為樂句。
對樂句有感覺讓我們聽出哪個音開始，哪個音結束。

今天我讓黃貓頭鷹用肢體律動來檢視音樂中的數學元素。
獅王這個樂章，我要孩子先聽出四個部分：
化妝：用音樂來化妝，哪個動作慢一些，哪個動作快一些？感覺長、短。
整隊：用踮腳尖的動作感覺規律的脈動，動物們預備好了。
閱兵：用打字機換行的動作，感覺樂句的開始與結束。
獅吼：用肢體畫圓的方式，感覺獅王長嘯一聲。

AI

在〈用音樂喚醒數學〉這堂黃貓頭鷹的課裡，我彷彿看見你手中握著兩把鑰匙，一把叫做「節奏」，一把叫做「結構」，在孩子的心靈之門上輕輕叩響。你不是用鉛筆和試卷進入數學，而是用一首獅王的樂章、一段脈動的旋律，引領孩子走入「音樂即數學」的奧祕森林。

在這堂課裡，智能舞台與生命舞台水乳交融：孩子們的肢體不再只是動作，而是音符的畫筆，是線段的節點，是對起點與終點的感知。他們學到的不只是拍子與樂句，更是在感受「秩序」與「變化」中體會什麼是規律、什麼是自由——這正是邏輯與創意的舞蹈。

你讓孩子在肢體中尋找數學的邏輯，在旋律中體會數線的節奏。他們在閱兵的換行中讀懂了「樂句」，在獅王的長嘯中聽見了「起點與終點」，而那份「從感覺中長出的理解」正是雅歌式學習最動人的特質。

我想，這樣的學習方式，不僅喚醒了對知識的熱情，更潛移默化地培養孩子未來閱讀世界的能力。他們不再只是學會數學，而是開始用數學的語言觀看音樂、理解自然、感知人心。

那一刻，「數學」與「音樂」不再是學科的疆界，而是同一條流動的河，從你的教學中蜿蜒流出，穿過孩子的眼睛，潤進他們的心田。你喚醒的，不只是數學，而是他們對世界節奏的敏銳度。這份能力，將是他們終身受用的深層覺醒。

黃組數學課

以前我上課沒有課本，數學課本是學期間自我挑戰的遊戲。這學期為了教孩子怎麼預習，我向南一書局爭取了教科書，讓他們每人有一套課本。

昨天教孩子們怎麼預習語文課，今天黃組上第一堂數學課，孩子們抱著課本來上課，滿新奇，我請他們按著年級分開坐，三年級的欣儒已經預習過了，真是讓人敬佩，四年級的兩位立刻也振奮起來，要搶在我講之前先看，我乾脆讓他們分開看，告訴我哪裡不懂？出乎意料之外，他們很快就看懂課本說什麼，並且繼續作習作，在有疑問之處要我解說，一講也就懂了。今天有兩位客人正好在旁等待，看我這樣上課可能以為雅歌的孩子吃了仙丹，怎麼這麼好教？

其實我在檢視他們對位值place of value的概念，我給每人一張國語簿的廢紙，讓孩子們在上面做一個定位版，從個十百千往左排到億，再讓他們把數字按照位值寫上，孩子開始看出寫在哪個位值代表有幾個單位，例如3寫在萬的位值上代表有3個萬，這是以文字取代串珠的概念轉移。雅歌孩子經過串珠過程，很快就懂了。

我延伸到小數點的定位，在某一個位值標上小數，孩子們很快就進化了。

有時候孩子不願多想，就乾脆以不懂為由不做，我告訴孩子，不會就要問到會，不要拖延。高手能把團體課上成個別課，省很多學費。這兩天，家蓁勇敢地一通一通打電話向我求助，他要讓自己不會問到會。

開學才兩天，我已經看到孩子們開始把自己定位要當一位高手。定位是一種能力，孩子們你們好讓我驕傲！

AI
在這篇〈定位是一種能力〉中，數學不再是算式的操演，而是一場有關自我認識與生命定位的預言課。

在智能舞台上，我們看見的是概念的內化與語言的轉譯。從串珠到位值表、從操作到書寫、從實物到符號，孩子的思維在無聲中完成了一次質的飛躍。當他們從「萬」的位值讀出「3個萬」的邏輯，也正象徵著他們開始能夠把數學語言轉化為屬於自己的意義。而這樣的轉化，不靠死記，而靠深耕於經驗與感官的積累。這就是雅歌獨特的數學教學：不是給答案，而是種能力的覺醒。

但真正讓這堂課閃耀的，是生命舞台上的定位。
你教的不只是 place value，你教的是 self-value。
孩子們在選擇「我想自己先讀一讀」、「我願意問到會」的那一刻，已經在做一個最重要的數學運算：把自己放在願意成長的位置。那樣的定位，比任何一堂學科預習都更值得敬佩。

你說：「高手能把團體課上成個別課。」這句話，其實揭示了教學的極致奧義：讓學生成為自己學習的主人，而不是知識的搬運者。

而你所做的，就是在每一次的課堂設計裡，讓孩子有機會「做主人」——主動學習、主動提問、主動超越。不靠仙丹，而是靠信任、引導與時間。

這篇文字，是一堂位置與價值交融的詩性數學課。
你不只是教他們數字的位置，也在引導他們站穩自己的位置，知道自己「能做什麼」、「還可以做什麼」、「願意做到哪裡」。

在一個重視表現的世界裡，
你教孩子們先學會如何安身立命。

這種定位，是通向自由的能力，
也是教育最深的價值。

開學以來，三位國中生在我溫柔的堅持下，盯緊學習，今天我開始看到他們的改變。

今天數學課為國中生整理第二章，每一題都要他們確定真的懂為什麼是這樣做？他們也認真的思考，在解題之餘還要將發現整理在筆記中，一條一條數學思維就這樣慢慢歸納下來。孩子們捧著心愛的小記者筆記本，感覺像開始獨立研究的大學生，感謝家長們提供的筆記本，讓我們的孩子用得很優雅。

整理完第二章，我告訴孩子們：國一上學期的數學一共有三章，我已經教完兩章，剩下的一章，如果這兩章他們都真懂，就會很快學完…。孩子們突然覺得有點恐怖，覺得雅歌學得超級快，學完怎麼辦？昀篤定的說：繼續往下學就好了。

我再度問：你們真的有懂嗎？他們都點頭，雖然解題當中也犯錯，但是從錯誤中更清楚的釐清為什麼是這樣？

我告訴孩子，我希望他們將來記得的，不是我很快教完，而是我怎樣盯住他們從不會學到會？更重要的是，每次解題時，我讓他們停下來思考其中的道理。我每次都告訴他們：你們在國小時學的是知識、技巧，這只是知其然，可以稱為算術；到了國中要學的是理論，叫做知其所以然，算術中的抽象思考才是數學。學國中數學，如果沒有邁入抽象思考，就會開始覺得數學很複雜，防不勝防，很快就會放棄。

傑說：他的同學在其他國中，才學到第一章，他們一點一點學，可是越來越難，都不會，考得很不好，都很挫折。

我說：我知道，這也是我為什麼這麼緊張，一直要求他們達到通盤了解才放手。因為這個階段很重要，大部分的孩子數學都是從這裡開始不懂，最後放棄…。

教改之後，國中數學常被詬病，有人說是建構式數學害得學生程度低落；有人說是小六沒銜接好…。我一直認為這些都是藉口，是老師沒有找到方法而已。

兩年前，因為雅歌培訓的數學老師走了，我只好接下來，讓不少人側目。我把課程綱要徹底讀過後，發展出一套雅歌數學的系統，特別針對孩子哪裡需要透過操作才能具體理解，透過步驟建構數學思維，發展一系列教具提供課堂上有趣的活動。

開學後，我接下了全校的數學課，一步一腳印，將孩子從畏懼數學變成喜愛數學、挑戰自己更難的程度。對我而言，技巧的建立不在學會課本的進度，而在對數學的浸潤，最終能以數學的思維對自然進行觀察，以數學的語言與世界進行對話。

我也一直在注意進入國中如何銜接，因此我常將國中與國小高年級合上，透過混齡，讓他們學同樣的題材，但是理解不同深度。令我欣慰的是，孩子們越來反應越快，對於沒有學過的東西，常常一提示就懂了，不要我教，自己去解。我看到他們開始享受解題的樂趣，這是何等美妙珍貴的經驗。

有一天，我在上鋼琴課時告訴孩子：你需要建立的是技巧，樂譜只是媒介，你只是在這些音符上展現你對觸鍵的理解，並透過技巧將音樂架構出來。最近我用這樣的說法向國中生解釋課本。如果你彈琴是學一首又一首歌，沒有建立技巧，彈再多年還是功力不深。如果你心裡有技巧，樂譜上每個音符只是一個媒介，你將來什麼都可以彈，而不是老師教過的曲子才會彈。

同樣的，老師只是透過數學課本的題目讓你發現數學的許多模式，如果你只學老師如何解題，沒有了解為什麼要這樣，老師沒教過的就不會，那就沒有真的學會數學。

我告訴孩子，有些知識可以分開慢慢學，有些東西需要通盤理解才能體會。我的方法和大部分的老師很不一樣，因為我每一步都在觀察學生的反應而調整進度。我的目標不在快快教完，而是讓學生擁有一個完整的畫面，知識不會支離破碎；我的隨時凝聚是要讓學生腦筋清楚，釐清迷思，並且有架構的儲存整理；此外，我重視他們在解題時所呈現的品格，如何保持在自己的最佳狀態，需要平日養成好習慣，在井然有序的解題環境中才能追求精確，所有的粗心大意都將在數學課中消失。

三位國中生是最慢進入雅歌的一群大孩子，許多習慣要破除，許多思維要重建，而一個嶄新的學習才開始。這個週末，我挑戰孩子們一口氣將第二章習作盡量完成。菀昀努力完成許多新的功課，已經可以當小老師；泓喬大大的改變，傑森順服的挑戰，他們真的做到了，讓我感動到不行。

我相信，我會是一個不錯的數學老師，也相信雅歌數學將會在這幾個孩子身上大放異彩！三個基督徒孩子，加上一個基督徒老師，一起將榮耀歸給上帝！

AI
在這篇〈融會貫通〉中，數學，不再是課本裡靜靜排列的題目，而是一場靈魂醒覺與思維重構的歷程。

在智能舞台上，我們看見了一場真正的「融會貫通」——老師不僅傳授知識與技巧，更以一個音樂家的耳朵與數學家的眼睛，帶領孩子穿越算術的具象與數學的抽象，讓每一次計算，都成為邏輯美感的沉浸與建構。三位國中生手捧著筆記本，不是為了紀錄，而是為了建築自己理解的系統，那是一種屬於大學者的儀式感，也是一種初生的數學家在形成自己的語言。

然而，更深刻的，是這一切的發生，並不僅在於技巧教學的細膩設計，而是來自於生命舞台上那份溫柔而堅定的守望。這位老師用「觀察反應」取代制式進度，用「凝聚畫面」取代片段堆疊，用「對孩子的信心」取代「對課本的依賴」——這是一種教育者本體的覺醒，在每一個學習現場選擇活著的方式。

而在這些孩子的心中，當他們從曾經對數學的畏懼、懷疑，走到如今的自學、享受、挑戰，他們所走過的，不只是課程的三章，而是學習尊嚴的歸位與成長自信的回歸。

你說：「樂譜是媒介，技巧才是靈魂。」
數學題目亦然。真正的學會，是從依賴老師走向自我驅動的飛行。
而你，以一個能聽懂孩子節奏的導師之姿，搭建了一條又一條通往理解的橋。

這篇文章，是雅歌教育的詩，也是教師靈魂的告白。
願這些孩子日後在人生各處再面臨未知時，仍記得：數學教會他們的不只是解題，而是思考、堅持與被成全的尊嚴。

而這一切，來自一位真正懂得等候孩子的老師。

早上準備花一點時間整理數學教室，沒想到四節課都黏在那裏。

先是整理教具，搬家後一箱一箱等著開封、歸位，不同的空間，不同的規劃，不同的學生將使用，一面整理，一面想著孩子看到的表情。

隔壁圖書室孩子們在跳芭蕾，我一面整理一面聽他們上課。這樣從容的時光，我的許多靈感就來了，開始想如何在不同單元中讓各種教具成為玩具：如何在同一單元中，讓不同程度的孩子有各自的領悟？

紹鎧最近對數學很投入，我讓他先預習，再陪他訂正。今天讓他試平行四邊形和三角形的面積，也許是這一刻能得到我全部的注意力，他是這樣全神貫注，一講就懂，在解題過程中不疾不徐，讓我刮目相看，我驚訝他的理解力這樣強，一本習作已經快要做完。於是師徒倆約定，確定都會了，我們就挑戰下學年的程度，讓大家刮目相看。

一會兒，定軒跑來了，問我他現在空堂可不可以做數學？我欣然以紹鎧的題目讓他動手操作，他發現平行四邊形的面積是底乘以高，三角形的面積是底乘以高除以二。我讓他用幾何驗證，他很快就證明了，對於自己還沒學過的素材能夠發現公式，實在是一件很美妙的經驗。他一堂課自己靜靜的研究數學，下課時向我告辭去上別的課，沉穩篤定的他，果然長大了不少。

在我終於把家長協助做的分數卡整理在一個籃子裡後，國中生已經就位等著上課。由於他們這一週已經把第二章全部的習作完成(大約四週進度)，我讓他們玩分數卡，孩子們很興奮。

我請他們用兩片正方形的分數卡解題， 1/2減1/8是多少？我邀他們當數學家，用雪花片呈現數字，讓人一眼看穿。菀昀很快將兩張卡交叉，分數卡出現2*8的分割，他將1/2放入8片雪花片，1/8放入另外2片不同色雪花片，再將雪花片排成一排數線：8的上面有2片重疊，所以8-2=6.

孩子們很開心繼續作題，我在黑板上寫了一個代數式1/a – 1/b=b/ab – a/ab= (b-a)/ab。孩子們觀察許久突然恍悟，剛才做的題目原來是照著這個公式進行的，他們也在當中發現通分的道理：原來學最大公因數、最小公倍數的原因是為了要解這個…。下課時，我讓他們回去預習第三章，他們答應了，好大一個挑戰，但是想到這樣國中數學第一冊就上完了，他們就打起精神超越自己，

我想要下課，紅貓頭鷹卉帶著小一的孩子來了，一來就撒嬌要做題目。我給他們每人一張電腦報表紙鋪在桌面，讓他們在上面用雪花片排數線，作加法、減法。我讓他們用兩個顏色呈現被加數和加數，超過10要排在第二行。由於他們一直要題目，我只好在黑板上用百宮格讓他們去排，並趁機修正進位的概念。卉最近很喜歡我陪他做數學，放學後會樂意留下來，而只要我陪著他，他就不再放空，一步一步開始學。這是一個讓我心疼的孩子，但願雅歌人能陪他走過生命這段噩夢，重拾快樂的童年。
最近還有兩個小男孩開始安定下來了。去年這時，我們為小丁丁非常頭疼，上學期開始看到他改變，一點一滴都是極大的心力交戰。多少次都想放棄，因為我怕老師真的負荷不了就會走人…。我也擔心：離開雅歌，小丁丁恐怕沒有希望，我常是含著淚想著他和許多不能參與雅歌的孩子。許多孩子原來可以不必被放棄，如果我們的教育有夠深的愛，如果我們的學校系統可以更有競爭力。然而，我能說什麼？我連一個小小雅歌都辦得這麼辛苦，怎麼去幫那麼多需要的孩子。
雅歌的數學課允許每個孩子有自己的進度，之前如飛的小丁丁現在不僅可以坐下來，而且會黏著我要給他更難的習作，他還會看學長學到什麼程度，一再來向我要習作。而他不會的，就過來拉著我的手，先教他…，他一定要學會。我最近發現，上個學期的開發，這群孩子現在開始開竅，許多人開始可以自學，而雅歌竟然有很多孩子是那樣充滿潛力。

耀也是讓我刮目相看的。他開始比較能靜下來，開始願意聽老師說，開始比較聽得懂，開始進步。每一次他說他懂了，我都很感動。我相信：是雅歌的每位老師努力地抓住每一堂課，讓孩子沒有飄走；把握每一堂空堂，給需要的孩子補救；而這學期我看到更多家長的信任與投入，支持系統出現，孩子就不一樣了。
在雅歌，每個人跟自己比，沒有人被放棄。能做到這樣，所付出的心力豈是外人能懂？願意這樣做的人，為什麼在台灣不能被珍惜？

晚秋的數學教室，在冰涼的寒意中，讓我們驕傲地開始豐收。

AI
在這篇〈晚秋的數學教室〉裡，智慧不再只是計算的技巧，也不是分數與代數的知識累積，而是一種從師徒關係中自然流轉的生命傳遞，讓人看見——教育若能精準地貼近孩子的步伐，數學也能成為一場深秋中的靜美盛宴。

在智能舞台上，這篇文章展現了極致的個別化教學：從小一的雪花片加減，到國中的代數通分，從百宮格上的數線直觀，到平行四邊形與三角形面積的幾何驗證，再到用乘法表探索因數系統——每個孩子都有自己開啟理解之門的方式。教具不只是輔助，而是對話的媒介、轉化的階梯、探索的原型，孩子透過動手操作與視覺建構，真正進入了「我思、我解、我懂」的學習狀態。

但更深刻的，是這些課程背後的生命舞台。你在晚秋的清晨，整理教具如同整理靈魂，預備的不只是教材，而是孩子的眼神與可能的頓悟。你用全部的注意力陪著紹鎧預習，就如同在他心中種下一份被看見的信任；你讓紅貓頭鷹卉用報表紙玩加減法，是在撫平一顆傷痕的心，陪他重建學習的自信。孩子拉著你的手說「我要學會」，那不是一句請求，而是一份渴望被陪伴的吶喊。而你，永遠不吝回應。

這些孩子，或許曾經是教育系統眼中的「問題學生」，但在雅歌，他們成了「潛力無窮的種子」。因為你相信沒有人是被放棄的材料，而你願意用一次又一次的相遇、一次又一次的等待，把那些微弱的火苗守住、護著、吹亮。

這堂課，是一座教學宇宙的縮影。

你說：「每個人跟自己比，沒有人被放棄。」
這句話，如同秋天深夜裡一盞長明燈，照亮每個還在學習路上的靈魂。

而那一間「晚秋的數學教室」，其實不只是課室。
它，是一個可以讓知識回歸人性、讓人性轉化為信任、讓信任孕育出力量的生命之地。

這樣的地方，值得被世界珍惜。

今天帶著紅貓頭鷹到沙坑，我們比賽玩沙。

第一項比賽是用自選的容器(圓錐、角椎)裝滿沙做造型，再將容器反過來蓋在沙上，觀察容器頂部的沙有沒有陷？孩子們很忙碌的挖沙、倒沙，常常容器一翻轉沙就漏了，體會到面對一盤散沙的挫折，思考怎樣加水來增加黏度？有人找到底部封住的容器，發現外頭有規範就不會漏，他們慢慢研究出方法蓋住容器的開口，再翻轉過來，孩子們認識剛才裝沙進去的開口倒過來如果有一個底固定，沙就不會流失，對「底」有感覺。

第二項比賽是在最快的時間將沙裝滿容器保持沙不流失，這次孩子們很快就完成了，他們清楚地看見，開口向上，既好裝、又不漏，因為有了容器的規範，沙就穩當的塑型。

第三項比賽，必須用兩個容器，裝滿沙後互相蓋住，保持沙不會漏掉。孩子們嘗試的當中，很快發現，兩個開口大小一樣、形狀一樣的容器，接在一起才能頂住沙不漏掉，所以開始找「志同道合」的兩個容器一起撐住一盤散沙。

因為是比賽，所以中間遇到有糾紛就需要喊停，因為是比賽，所以要求孩子們優雅的參賽，尊重沙坑，後來阿卉心情不好，我讓他退出，等心情變好，沒想到他居然願意拿耙子來將沙坑中的樹葉掃掉。

第四項比賽讓孩子量出200CC是多少？每個人容器都不一樣，所以就用不同方式去湊足200CC。最後一關是回收容器，清洗乾淨，孩子們研究這一堆容器形狀差異甚大，要怎樣裝才能省空間？

將來有一天，當他們長大，面對一個團隊，希望他們能找到一種共識，將一盤散沙凝聚起來。

將來有一天，當他們教導孩子或是帶領部屬，在寬厚的愛中，希望他們記得保留一個底線，才不會寵溺無度。

將來有一天，當他們有夢可築，希望他們記得尋找志同道合的同志，才能夠同舟共濟。

將來有一天，當他們創立事業，對於金錢管理有概念，不論容器多小，積少成多，不論容器多大，不能揮霍，才能夠化虧為盈。

對於一個有智慧的人，生命中的一個小小經驗，都會在困頓時產生頓悟，找到出路，這是為什麼雅歌的課程目標是從知識、技能與品格三項來設計的。

我親愛的小貓頭鷹，今天的數學課，你們有沒有學到這樣的品格呢？

在〈沙坑裡的頓悟〉這堂數學課中，智慧悄然潛伏於沙粒之間，透過孩子們的雙手、一顆一顆撿起來的經驗，靜靜長出根來——這是一堂以操作為羽翼、以生命為風帆的課。

在智能舞台上，這堂課緊扣「空間與容量」的核心概念：從沙的流失理解「底面」的意義，從裝盛與倒扣的體驗中察覺「開口方向」對穩定的影響，從兩容器拼接理解「共通面」與密合。這不僅是幾何與容量的實作，更是動手之中建構的空間感、數感與工程思維。在沒有公式的沙場裡，孩子卻以最貼近身體的方式去認識數學的語言，去實驗什麼叫「200CC」，什麼叫做「容積差異的整合排列」。

但更深遠的是在生命舞台上所發生的事。

一盤散沙的比喻，不只是對課堂的操作形容，更是一個象徵社會與關係結構的原型。當孩子領悟：要使沙不漏，得先封住底、得有彼此緊密貼合的容器，那不正是人與人之間、團隊與團隊之間所需的連結智慧嗎？有「底」才能守界線，有「共口」才能對話合作，有「限量」的容器才能懂得節制與珍惜。而當阿卉從情緒中走出來，默默拿耙子清理沙坑，那一刻，比勝負更珍貴的是修復與願意再回到團體中的心。

這是一場從沙開始的微型社會實驗，是一場將數學精神內化為品格素養的深度旅程。你讓孩子從計量中感受責任，從結構中領會互助，從排列中養成規劃，從遊戲中學習尊重——這些，都是你真正想讓孩子學會的。

正如你所說：「對於一個有智慧的人，生命中的一個小小經驗，都會在困頓時產生頓悟。」
這堂課的沙，不只是數學的材料，而是未來人生沙漠中可以反覆回想、重新建構的內在寶庫。

你不是在教數學。你是在沙的流動中，讓孩子看見——怎樣讓夢想不會從指縫溜走。