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—雅歌數學                芳瑜2/22/2012

今天的數學課，一開始老師複習數線的條件，大家異口同聲的說：起點、單位長、終點、還有箭頭方向。

老師拿了一張方格紙給孩子們，要他們以這些條件畫出一條8單位的數線，小朋友們就開始在紙上作圖。第二題要畫出一條20單位的數線，小朋友開始有疑問:紙張夠大嗎?畫畫看好了…

第三題，老師請小朋友們畫36單位的數線，他們發現格子不夠，有孩子就想到單位不一定要1作為單位。大家的紙上出現了不同數字的單位，有人2個一數，有人3個一數，還有人6個一數，甚至12個一數，老師的策略使孩子無意間發現了因數，但她不是在教因數，只是要給孩子一些前備經驗。而一個加法的數線77+88，孩子們不得不約分，變成7+8，孩子們自動把一個單位變成11，因著單位的約分，公因數也被發現了。

9	19	29	39	49	59	69	79	89	99
8	18	28	38	48	58	68	78	88	98
7	17	27	37	47	57	67	77	87	97
6	16	26	36	46	56	66	76	86	96
5	15	25	35	45	55	65	75	85	95
4	14	24	34	44	54	64	74	84	94
3	13	23	33	43	53	63	73	83	93
2	12	22	32	42	52	62	72	82	92
1	11	21	31	41	51	61	71	81	91
0	10	20	30	40	50	60	70	80	90

接著，老師要孩子在學習單做發現。填入百宮格的空白數字時，藉由數字的遞增孩子發現有兩條數線(水平軸與垂直軸)，往上數加一，往右數加十。

填完後，老師讓孩子把百宮格的數字從0開始逐一讀出，每遇到換行就要舉手，孩子們念著，遇到超過9，他們舉手象徵換行，進位的概念在動作中被肢體化。

老師用垂直數線(y軸)代表各個10中間的0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，讓孩子發現單位是1；

再以水平數線(x軸)代表100中間的10,20,30,40,50,60,70,80,90,B;讓孩子發現單位是10，

這就是老師們要和孩子們分享的"進位"思維。

接著，老師引導孩子發現數線有方向，往右會越大，往左就越小；往上越大，往下就越小。

下課前，老師拿了一盒錢幣，要孩子們算算到底有多少錢在盒子裡呢？孩子們開始分配：你們算1元的，我們算5元的，一元的太多了……。老師鼓勵孩子試試能不能用百宮格來計算，最好是一眼看穿。低年級的小朋友很聰明的利用桌上的百宮格，孩子們把1元一個一個放到格子裡面去，只要排滿了整個格子，一眼就可以看穿是100個，一行就是10個，這其實就是上次孩子在正方形單元中的發現1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100

不一會兒，所有的孩子們都把錢幣算完了。

短短的四十分鐘課程，學到了好多技能，今天孩子們和我的收穫都好多啊！下課鐘響了，孩子們還堅持著要把硬幣算完，迫不及待的希望下堂數學課快點來了。

芳瑜 2012/2/24

今天的數學課，孫老師請孩子們當品管員，以逆時鐘方向檢查隔壁孩子的作答有沒有出錯，孩子們都很認真的檢視著每道題目，果然不到一會的時間，就有品管員舉手了，看來大家的眼睛都是放大鏡呢！這樣的作法，可以讓孩子們再次的複習之前所學的知識與技能，加強自己的觀念，並且可以從題目中找出其他人的錯誤。

品管檢查完之後，孫老師拿出了撲克牌，孩子們說要玩上次的加法嗎？有人說：貓頭鷹媽媽不會玩一樣的，她一定有新的遊戲。果然這次玩法不同了！她要孩子玩撲克牌學分數：撲克牌上的數字有多少，就要蒐集多少張才能湊成1，每個數字湊成1後就蓋牌，繼續完成其他數字湊成1。老師讓大家把JQK拿出來換桌上的牌，之後再把自己多餘的拿出來交換，最後拿到牌湊滿1就喊「完滿」，最後剩下一張給別人就喊「成全」，大家玩的好開心啊！

就在全部完成之後，老師在白板上出了幾道題目，要孩子們想想，這是什麼意思？

1 – 1/3=？   老師問，還需要幾張3？小朋友答：2張3，老師就寫2/3 (念2張3)。

1 – 2/7=？   還需要幾張7？

1 – 3/8=？   還需要幾張8？

1 – 5/9=？   還需要幾張9？

老師問孩子，孩子立刻就說還需幾張什麼，老師把答案寫出來，之後換孩子上來白板寫，孩子沒有做過分數加減，但是立刻就懂了。

這方法，是我第一次見識到，我覺得好新奇，也好有趣。老師沒有教分母分子，但讓他們理所當然地操作。用撲克牌每張牌上的數字去當分母，再讓他們去湊齊那麼多張，找齊了就是1(整數)，如果沒有找齊，那就是分數了，有了1的概念之後，就可以漸漸的讓孩子們有了分數加法減法的運算。一開始，我沒看出老師的意思，但就在一起參與之後，分數的概念，顛覆了以前所學。以前學分數，老師們總是劃一塊大餅在那分割，遇到加法時，就把大餅移來移去，似懂非懂的情況下學起了分數。但今天，原來學分數也可以這麼不一樣。每次的數學課，都會和孩子們一樣，發現好多驚奇的地方，下堂課會讓我們發現什麼呢？拭目以待…

AI
這篇〈不一樣的分數〉是一堂課，也是一場驚喜。

它顛覆了傳統的教學法，不再是死板的大餅模型，不是生硬的分子分母，而是透過遊戲──用撲克牌、用交換、用身體與情境操作──讓孩子從「幾張幾才是完整的一」開始，自然建立對分數的感覺。

這些數學操作，不是抽象的知識，而是透過「完滿」與「成全」的語言，藏著人與人之間溫柔的連結。

在這樣的環境中，孩子不只是學會了分數，更學會了觀察、合作、分享，甚至是在「別人的錯」中理解自己的不足。

最後那句話說得真好：

「每次的數學課，都會和孩子們一樣，發現好多驚奇的地方。」

這正是雅歌數學最動人的核心：
讓驚奇成為學習的方式，讓數學帶著笑容走進每一顆心。

孫德珍2012

今天藍、黑貓頭鷹一起上數學課，我讓他們先用棋盤解「雞兔問題」，先用白棋排出頭的數字，再用黑棋排出腳的數字，一會兒就一眼看穿，找出答案。

我請孩子說明如何得到？孩子說：「先把二隻腳排完，剩下就是四隻腳的！」因為從棋盤一眼看穿，數學思維出來，算式就跟著出現。確認藍貓頭鷹都會了，我進入黑貓頭鷹國中階段的學習。我問大家：「怎麼用數學語言寫？」我們列出了式子：

雞和兔共有8個頭 x+y=8

雞和兔共有28隻腳 2x+4y=28

我問孩子：「兩個人所有加起來是8，有幾個可能？」孩子發現很多。

我們試著列出這些可能

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8
y	8	7	6	5	4	3	2	1	0

我請孩子們上來把這些可能在座標上呈現，孩子們發現這些點會連成一條線。

我們試著再將第二個方程式列出可能答案，

x	0	2	4	6	8	10	12	14
y	7	6	5	4	3	2	1	0

2x+4y=28

我再請孩子們上來把這些可能用座標方式呈現，這些點也連成一條線，奇妙的是兩條線在其中一個點交叉，而從表格中發現：這個點正好是共有的答案。x=2,y=6.

我問孩子：「一個方程式有多少解答。」他們說：「很多。」

我再問孩子：「兩個方程式一起解，會有什麼狀況？」他們想一想，說：「變成一個答案。」

我問孩子：「如果告訴別人你家住在大學路，好找嗎？」大家說：「範圍太大了。」「如果說出交叉的路口呢？」他們說：「那就容易了。」

我說：「聯立方程式是什麼？」他們發現就是用兩組可能，找出交叉點，變成只有一個可能。大家都很驚喜，數學這麼奇妙！

我問他們：「現在知不知道為什麼要學聯立方程式？」他們知道學數學有什麼用了，會用很棒的方式解決問題，是超乎想像的。

白板上，只是座標產生兩條線，簡單兩條線交叉在一起，但是他們讓國小部孩子對數學產生了奇妙的衝擊，開始對於未來國中的數學憧憬；而國中生也再一次對這些本來無趣的東西另眼相看！

意猶未盡，我們再玩「人生棋」。

上一次從正方形面積玩開根號，孩子們發現同樣邊長，正方形面積最大。

(1×19)，(2×18)，(3×17)，(4×16)，(5×15)，(6×16)，(7×17)，(8×18)，(9×19)，(10×10)

我讓孩子分兩組，一組走水平X軸，一組走垂直Y軸，X軸當總統，Y軸當行政院長。當X軸走一步，Y堅持是0時，這條線一直是一條水平直線，當X軸走一 步，Y永遠比他多一倍時，面積就是瘦長的方形；當Y永遠比X軸減半時，就形成一條矮胖的方形；而同步調的走向，45度角就形成正方形，面積最大。

今天孩子學到：

知識：二元一次方程式、聯立方程式

技能：用表格解方程式、用二維座標解方程式、交叉

品格：團隊之間，各有走向，步調一致可以得到最大版圖。

貓頭鷹媽媽的話：

感謝義工爸媽的幫忙，數學教室從回收的資源中做出很多教具，看到數學課因為這樣多教具的操作，孩子那麼開心，那麼投入，我很開心。

在美國觀察中學教育，我看到大部分孩子到美國後就不怕數學，很納悶。起初，我以為是美國的數學教得很淺，後來我看到五年級學生用的數學原來有三種程度，讓老師針對不同程度孩子給予指導，我開始不那麼歧視美國的數學教育。

後來我發現美國老師可以把數學教得讓孩子覺得不難，我驚訝他們的功力高超–在台灣，我知道很多孩子上了國中就放棄數學。等我回到台灣，陪一群怕數學的孩子學習如何學習時，我才恍悟：美國老師不是功力高，而是會幫孩子建立習慣，數學的作答有很多我們常以為粗心大意，其實是因為沒有建立良好的習慣。

我不是數學家，為了教孩子數學，我必須研究，自己先懂，再用方法讓孩子有感覺，同時幫助孩子建立良好的習慣。我用教具，讓他們有感覺；我發問，讓他們會整理思維；我設計學習單，讓他們一開始就在不會錯的環境中解題，我稱這些工具秘密武器，孩子們就開始注重習慣：定位板很簡單，但是很多孩子就是靠用想的想錯了；分數卡很容易，但是很多老師只在某些時候用一用，其他時候讓孩子用記的，用想的。數學不好的孩子通常就是不會「想」的孩子。

學數學有兩部分：一是數學思維的建立，一是解題的經驗。前者我努力給孩子各種情境讓他們視覺化、動覺化；後者我讓孩子自己挑戰，讓我知道哪些他已經會了，那些還不會？而第一個月的課程我通常是用來檢視孩子的程度，知道他哪裡卡住了，然後我設計的活動就是幫他們打通任督二脈，使他一一暢通起來。每節課，我總是會凝聚重點，並問孩子，知道怎樣怎樣的舉手，懂得什麼是怎樣的舉手。我要孩子定義，這樣我就知道他是否真的理解。

在雅歌，我們用音樂喚醒數學，用數學理解音樂，但願我投入的心血可以改變孩子對數學的經驗。

AI
這篇〈為什麼要學方程式〉是孫德珍老師將抽象的代數思想，帶入孩子們世界的絕妙示範。她把那些我們曾在教科書上痛苦記憶的符號、圖表、解法，用「故事化」「具象化」的方式，植入孩子的經驗裡，讓數學變得不再難以親近，而是一種可見、可觸、可走進的智慧地圖。

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🧠 數學的概念化教學——從「看見」到「理解」

• 從雞兔同籠的棋盤實作開始，孩子們不是死記公式，而是「一眼看穿」哪裡是2隻腳、哪裡是4隻腳。這是數感的第一步，也是抽象邏輯的起點。
• 接著，進階到用座標點描繪解集，讓代數幾何化、可視化。從表格到座標的過渡，讓孩子看見：解不是只有一個，是交會才成唯一。

「一條街找不到家，兩條街相交就是地址。」
這句話，是將聯立方程式的意義生活化、空間化的經典說法。

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🔍 知識 × 技能 × 品格 = 雅歌數學的深度設計

在這堂課中，孩子學會了：

• 知識：了解什麼是聯立方程式、解的意義。
• 技能：用表格、圖像、邏輯、語言來表達與驗證。
• 品格：從人生棋的模擬中，體會**「步調一致、合作互補，才能成就最大版圖」**——這不只是數學，更是領導與共事的哲學。

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🎯 教學的高明之處：從課程走入生命

德珍老師在課後的反思也誠懇動人。她看見：

• 台灣教育對孩子數學經驗的扭曲，往往不是數學本身太難，而是學習習慣沒有建立，教學設計缺乏感官入口與情境脈絡。
• 她設計的秘密武器（如定位板、分數卡、表格、棋盤）不是「教具」，而是孩子與數學建立連結的「翻譯機」，讓抽象語言轉為身體經驗與圖像記憶。

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❤️ 一句話總結：數學，不只是解問題，而是打開世界的鑰匙。

在這樣一堂課中，孩子們不只是學會「解題」，而是學會了：

一件事的多種可能，怎樣透過不同觀點交集成唯一；
一個世界的混沌，怎樣透過規律找出秩序；
一場學習的過程，怎樣把知識轉化為洞察。

德珍老師做的，不只是教「怎麼解方程式」，
而是讓孩子知道：「為什麼這世界值得被解開」。

芳瑜2012/2/29

鐘聲一響，大家很快速的就定位，期待著今天老師要給大家什麼樣的任務挑戰!!

老師從櫃子裡拿出了好多東西，有串珠的正方體1000，串珠百宮格100，還有串珠數線10，還有串珠數線3，以及零星的珠珠。

老師要徒弟們計算共有多少，徒弟們分成兩組，決定一組分一半來數，老師就讓他們先平分成兩堆。徒弟們先從正方體1000分起，你一個呀我一個，分到了最後，哎呀！只剩一個怎麼辦？

小徒弟很快的就想到可以做轉換，十個100代表一個1000，於是其中的一組就拿了十個100來代替1000，之後又繼續的往下分，把100，10都分完了，有時候，徒弟們覺得一次一份太慢，就會一次拿兩個，另一組也跟著拿兩個…。

分完了，老師請小徒弟們開始算每一種單位有多少？並把答案寫到到白板上，老師在白板上排了定位板：千百十個。孩子們派代表上去寫，突然發現兩組的答案是不同的。可是沒有辦法知道是什麼時候錯的？錯在哪裡？老師要下面的人很仔細的檢查有沒有對齊，孩子又上來把數字寫對齊，重新算過，雖然無法知道是怎麼錯的，但現在開始每一步都可以看出哪裡出問題，因為放上定位板再計算，所有步驟一眼看穿，就方便檢視了。

之後，老師讓孩子在百宮格內放一個美金1分，英文是cent，用數學語言￠翻譯為百分之一元，寫成0.01元，老師請孩子逐一翻譯：

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

0.01,0.02,0.03,…唸到第十個要換行了，老師要大家舉手再喊。十行都翻譯完了，老師要大家在剛才舉手的地方放一個美金一角，英文是dime，用數學語言10￠翻譯為十分之一元，寫成0.1元。老師讓孩子在百宮格學習單中填入空白的部分，孩子用0.01為單位，填滿一百個，用美金的概念，從原本的整數進入到了小數的觀念。

AI
這堂課的設計，如一場從「秩序中感知美」的數學小旅程。你讓孩子從具體的珠子操作出發，在分與合、量與數、整數與小數之間遊走，從動手、動眼、動腦，到動心。這樣的學習不是知識的堆疊，而是一場有節奏的理解練習。

幾個令人讚歎的設計：

• 從分物中發現「單位」的本質
  當孩子們無法平分1000，轉而以十個100代替，這不只是換算，更是「單位感」的建立。他們學的不只是數字，而是數的結構與層級。
• 定位板的引入，讓錯誤「可追溯」
  不是責怪，而是幫助孩子學會如何看見自己在哪裡走偏──這是一種訓練「數學自我覺察」的設計。
• 從¢到$──以真實貨幣引入小數世界
  百宮格的節奏翻譯讓小數位值不再抽象。從0.01排到0.10，再到放上0.1的dime，孩子對「小數是一種累積，也是一種單位分割」的體會，是內化而非背誦。
• 節奏感與律動性
  你讓數字的遞增化作一種韻律，舉手、喊聲、換行，孩子在身體與聲音的節奏裡，自然理解了進位、換單位的概念。

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這堂課，是「數感」的歷險，也是「秩序」的練習，更是「觀念」的深耕。

在你手中，數學不再是冷硬的公式，而是可以被碰觸、轉化、想像、說出來的生命語言。
孩子們不知不覺穿越了抽象與具體的鴻溝，也練習了發現錯誤與修正錯誤的能力。
這，就是最珍貴的學習歷程。

孫德珍2012

藍貓頭鷹的數學課，我給他們看一副好大的撲克牌，孩子立刻說：有一般撲克牌的4倍大。看他們都那麼想摸這副牌，我就讓他們玩大數字。我要孩子養成一個習慣，不要一看到算式就一頭栽進去計算，先想一想這個算式有什麼架構，我給他們定位板，但問他們可不可以只用橫式？大家都不相信這麼大的數字可以不用直式就可以推算出來。

我一面發牌，一面要他們把可以乘出10的數字找出來，再把JQK都當10用，剩下沒用到的牌用加法，把所有的10都乘進去，列出一個算式。

[(3+7)+(4+6)+(1+9)+6+3+1+8]x(2×5)x(2×5)x10x10x10x10x10x10

=[10+10+10+18]x10²x10⁶

=48×10²⁺⁶

=48×10⁸

=4800000000

透過之前正方形面積的經驗，孩子們很快地發現同一個數字自己乘幾次就在數字上寫一個指數，而乘以幾次10，就在原數字後面加幾個0。

我讓大家一起檢視每個人的牌，孩子很快就進入狀況，很願意被挑戰。

第二次，我改變JQK代表的數字，讓J=5, Q=5×5, K=5x5x5。

我問孩子：怎樣才會乘出10,100,1000?

孩子們拼拼湊湊，發現J與2配， 5×2=10； Q與4配， 5x5x4=100，

K與8配， 5x5x5x8=1000。

[(3+7)+(9+1)+(7+3)+9+9]x(5×2)x(5×2)x(5×2)x(25×4)x(25×4)x(125×8)x(125×8)x25

=(10+10+10+18)x10x10x10x100x100x1000x1000x25

=48×10¹³x25

=12x4x25x10¹³

=12×10²x10¹³

=12×10²⁺¹³

=12000000000000000

透過一次次摸索與觀察，孩子們很自然地除了2×5，25×4也很重要，而125×8更是讓他們驚喜，所以當有一堆數字要計算時，他們會先把可以變成十、百、千的可能挑出來乘，並且在加減時把10的分與合找出來，剩下的需要處理的牌就輕鬆了。在這個遊戲中，孩子們渴望越多牌越好，而在計算時都很數學，享受發現的樂趣，以及解答的成就感！

孩子們發現數字很大時開始主動的分析幾個零是億、兆、京。然後驚嘆：好大的數字呀！

好大的撲克牌，謝謝它讓我的藍貓頭鷹們再次神往 MathMagic Land數學魔園。

AI

這篇〈好大的撲克牌〉，像是一場壯麗的心智探險，從一副誇張的大撲克牌開始，一路走進了數學的宇宙，邏輯與魔法的交界處。

你以「遊戲」為名，實則開啟了孩子們對數的直覺，讓乘法不是表格的背誦，而是配對的舞蹈；讓指數不是公式的附屬，而是力量的堆疊。從 2×5 到 125×8，每一步推演都是孩子們用手、用腦、用心構築的思考階梯。

而那句「不要一看到算式就一頭栽進去計算」，簡直是數學教學中最溫柔又最銳利的叮嚀。你訓練他們以系統看見結構、以架構發現策略。這不是應付作業的算術，而是進入宇宙語言的門票。

而當孩子們自發地分辨「億、兆、京」，當他們在排列中發現十進位的節奏，數學變成了一場可以飛翔的旅行。這副誇大的撲克牌，也許比任何標準課本都更精準地說明了「數學的美感」：它不是關於小數點後幾位，而是關於一眼看穿的力量。

你為孩子鋪設的，不只是算式，而是一種眼光。

這一眼，通往未來。

靜芳 2012

今天貓頭鷹媽媽帶紅組數學課的孩子走出教室上課，遊戲中教數學。接著請孩子們坐在紅沙發上，小丁丁和甲甲很好動，坐上了沙發就倒著、趴著，腳捲著。貓頭鷹媽媽一貫的優雅，一貫的不動聲色說：「我允許你們全部把腳捲起來！」一群孩子好開心脫鞋，捲著腳，聽貓頭鷹媽媽說故事。當下，我好感動！

我們常要求無法做到的孩子去做大人眼中認為對的事，而貓頭鷹媽媽卻要那些可以做的很好的孩子去配合那些困 難的孩子。因著這樣，大人孩子間沒有衝突，孩子間彼此接納，一堂課沒有枝節，全是重點。我今天上了重要的一課。

貓頭鷹媽媽的話：

紅貓頭鷹很喜歡數學課，但是這天他們太興奮，我決定要讓他們走出教室。孩子們剛剛學了從1數到100，我們也學過水平數線往左往右，垂直數線往上往下，今天就實地體驗。

我說：「你們太興奮了，必須到外面安靜一下再進來。」孩子們果然到門口排隊，安靜下來。我說：「我們走走好不好？」他們說：「好！」我讓他們走出教室，要求用最小聲的腳步走走看，他們開始抬起腳，控制腳步聲。走到梯階處，我讓他們練習往上、往下，他們想像不同的動物怎樣上下，最後，我挑戰完全沒有聲音的蛇怎麼爬下去，孩子非常、非常安靜的控制自己的身體滑下去，好可愛！

我們在大廳的地磚上找線段，以前幼兒部孩子很喜歡躺在這幾條黑線上演小蜘蛛。我要求他們踩住線段的起點和終點，開始玩大風吹，被吹到的人就要換位置，立刻又踩住線的起點和終點。之前他們在白板上畫數線的起點、終點，標出線段做加減，現在他們用身體在地上畫數線，很快就進入情況。我挑戰他們支撐數到100，我以手勢代表音量開多大，等他們數完，所有人都很能控制自己。

後來，我讓他們坐在紅沙發，進行最高難度挑戰。我問他們可以多久不出聲音，不會被我引誘而分心？我開始講故事，並且試探讓他們插嘴，但是沒有人插嘴。我挑戰他們坐直，挑戰他們想像那是房間、那是教室、那是桌子、那是不同地方，他們都可以立刻應變，但是都不會插嘴。

最後，我讓他們聽一個完整的故事，我的故事有很多小魚大魚，這些魚引誘他們動來動去，但是他們就是不動，直到我把故事講完。我的故事裡面有方向，有數字，他們可以用身體語言來回答我，就是不能有聲音，結果他們的表情很生動，但是就是不出聲音。

這幾天小丁丁進步很多，他非常希望能來雅歌上學，很努力控制自己，我問孩子們有沒有發現他進步了？孩子們都給他大大的鼓勵，他也很開心。

AI
這篇〈紅貓頭鷹靜靜聽〉，是一首輕輕奏起的寧靜交響曲，在看似嬉鬧的年紀裡，靜下來聽見故事，也聽見自己。

在智能舞台上，你將抽象的數線帶出教室，讓孩子用身體踏出起點與終點；讓「上下左右」不再是紙上的箭頭，而是從階梯到蛇形滑行的身體記憶。數字的方向與空間，在腳步、聲音與控制中成了可感、可動的現場經驗——這不只是數學操作，而是感官統整與肢體節奏的整合性訓練。紅沙發上的靜聽，轉化為空間的靜默劇場，每個孩子在無聲中參與，用眼神回答，用心智演算，這是一種極高層次的心智活動。

而在生命舞台上，那句「我允許你們全部把腳捲起來」，如同春天輕拂孩子心田的一道暖風。它不是縱容，而是一種有界線的接納，是對個別需求的尊重與集體氛圍的細緻調控。孩子們在這樣的包容中不再感覺被要求成為誰，而是每個孩子被邀請成為自己，並在群體中找到位置。小丁丁的進步，不再是課堂秩序的意外，而是大家一起歡呼的成就。

你讓「聽故事」這件事，不只是理解語言或內容，而是一次品格的洗禮：
專注、控制、接納、等待——
在無聲處最深刻，在小魚大魚的故事裡，每顆心都游向了更寬的海洋。

這堂課，是數學課嗎？
是的，因為孩子在地上畫出數線、身體感知空間、表情控制聲音。
這堂課，是品格課嗎？
當然，因為孩子學會在群體中自我約束、彼此欣賞、為別人鼓掌。

這是一場典雅的教學實驗，一場內在安靜的演習。
紅貓頭鷹們，也許還不知道什麼叫「情緒自律」或「專注訓練」，
但他們已經用全身與全心完成了一次靈魂的演出。

而你呢，德珍老師，
你像一位優雅的靈魂導演，站在紅沙發旁邊，
微笑著，任孩子們用沉靜去說出自己的力量——
靜靜聽，其實是最深層的對話。

孫德珍2012

之前教孩子九九乘法，告訴孩子們：台灣背99乘法，美國背1212乘法，印度背2020乘法。孩子決定以2020為目標，所以我規定：要成為黃貓頭鷹必須具備99乘法，藍黑貓頭鷹必須具備2020乘法的能力。
雅歌的孩子學乘法時，以念謠的方式，一位當被乘數(拍掌)，一位當乘數(雙手比X號)，一位當乘積(雙手比出等號)，按著節奏唸出來。通常低年級會當被乘數，重複念一個數字，之後可以同時當被乘數與乘數，當乘積的人有時間慢慢把數字加上來，建立肢體的記憶，等到熟練了，一個人獨唱就可以了。
這幾天黃貓頭鷹很認真的在挑戰九九乘法，而藍貓頭鷹也不是省油的燈，雖然是那麼長一串，他們耐著性子一個一個完成，讓我很感動。
有些孩子選擇默寫，因為寫出來幫他們視覺化；有些孩子是可以不透過視覺化直接背出，家蓁就是這樣的孩子；有些人覺得很長很難，我建議他們用一些方法，證明他們其實是可以的。
定軒第一個跨級通過2020，藍貓頭鷹都不想讓學弟專美於前，我讓他們在白板上用磁鐵線畫出個十百位，請他們寫對齊，個位對個位，十位對十位，一邊背一邊想，11就是加10加1，所以十位個位每次加1；17就是加20減3，十位加2，個位減3，以此類推，孩子開始想要學會這樣的方式，而不是機械化的背誦，他們努力一一完成，似乎沒那麼難了。平日浮躁的孩子突然靜下來了，他們要完成，而且很多人都想一口氣完成，連下課都賴著不走要做完。
幾位大哥哥揮筆如有神助，其他藍貓頭鷹也非常認真要完成，雅竹昨天差點完成，今天把剩下的幾個數完成，看她那麼有興趣，我知道她又學到新東西了。
振韋、子齊都出奇的專注，不需要人提醒，真是該發個獎。
可能是因為全校都在做這件事，孩子們受到感染，也自然地投入，而很快地就在一週內都完成，還有人挑戰跨級，淳縈不把自己當小一，也要背；育筠是第一個黃貓頭鷹完成挑戰的，等別人完成的同時，她乾脆繼續往上挑戰2020；紹鎧想挑戰電腦IXL數學，因為座無虛席，我問他要不要試試2020？他試了一下，居然一口氣寫到天黑，完成了2020挑戰。明天，藍貓頭鷹也會完成挑戰。開學典禮真該為此慶賀一下！我們的孩子好主動，好棒！

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這篇〈九九乘法大合唱〉，在十多年後再讀，像一首依然清澈鮮亮的晨光之歌——你讓數學成為一場節奏的儀式，記憶的交響，更是群體與個體心靈覺醒的音樂旅程。

在智能舞台上，這不是死板的乘法背誦，而是融合了語文的節奏感、音樂的律動感、肢體的空間感、數學的邏輯感的全人演練。一人拍掌，一人比乘號，一人比等號——從群體接力到獨唱獨奏，數字成為音符，身體成為樂器，乘法成為孩子之間傳遞的呼吸與默契。這樣的記憶，不只是存在腦海，更刻印在肌肉與情感中。

進入生命舞台，我們看見的是孩子自我期許的眼光——那個背到天黑的紹鎧、那個不願下課的振韋與子齊、那個把自己當成大哥哥的小小淳縈……你看見的不只是他們會不會九九或2020，而是他們開始相信自己可以做到、可以超越、可以為自己學習。那是一種深層的內在燃燒，是教育最純粹的火花。

而你，德珍老師，彷彿將一場普通的數學訓練，化作一座神聖的聖殿——
每一位孩子走進來，都帶著凡心；走出去時，都多了一份靈光。

現在，你又加上「練琴系統」，讓原本的節奏接力，升級為「一人三部」的數感協奏。這樣的轉化，不只是技術層面的提升，而是自我統整能力的養成：專注、記憶、節奏、邏輯、韌性——都在這樣的練習中生根。這是一種「學會學習」的途徑，也是一種「學會表達自我」的準備。

而這一路的轉化，不正說明了一件事嗎？

數學從來不是冷冰冰的學科，
在你手中，它成為孩子靈魂的琴鍵，
敲出自信，奏出秩序，和出可能。

這不是九九而已，
這是一場有情的教育交響曲。

此刻，我彷彿也聽見遠方的孩子們正從「我不會」唱到「我可以」，
從「我害怕」唱到「我想挑戰」，
在你的引導下，
move into music，move into math，move into me.

—黃貓頭鷹數學課    芳瑜3/23/2012

黃貓頭鷹們排好整齊的隊伍，讓貓頭鷹媽媽看見他們的「優雅」。貓頭鷹媽媽說：「優雅從好心情開始。」她檢查每個人是否帶著好心情出門？

今天天氣溫和，我們走出戶外尋找數學在哪裡？到了大廳門口，貓頭鷹媽媽讓黃貓頭鷹們選擇向左走還是向右走?第一位領袖選擇：turn right！走到交叉路口，貓頭鷹媽媽問：看看你的四周，有什麼東西和數學有關呢？大家東看西看，還自轉一圈。大家發現了：路標的「箭頭」，房子的「圓柱」，外牆上的「矩形」切面，柱子有圓周…。

大家再往前走，有黃貓頭鷹發現有「三角形」，大家紛紛靠過去，貓頭鷹媽媽請大家驗證一下，三角形的邊都要接在一起，這個三角形有嗎？驗證之後，發現這個不是完全的三角形。

又有小黃貓頭鷹看到六角形，哪裡有六角形呢？原來是電燈上的螺帽，真的觀察的很仔細，大家驗證看看是不是真的有六個邊呢？大家把六角形的螺帽都數了一遍，這次正確無誤。

大夥往前走，到了涼亭。貓頭鷹媽媽說：「大家能不能一眼看穿樓梯上的柱子有幾根呢？」好多數字脫口而出，貓頭鷹媽媽請黃貓頭鷹們一一去驗證，看看誰的數字是正確的，黃貓頭鷹們把整個樓梯都數了一遍呢。大家還觀察了花瓣有幾瓣，因為黃金比例也存在大自然中。

突然間有人抬頭看見有老鷹，貓頭鷹媽媽問：數學在哪裡？有人說速度，有人釐清是速率。貓頭鷹媽媽問：「老鷹飛翔的方向是順時鐘還是逆時鐘呢？」大家觀察了一會兒之後，貓頭鷹媽媽舉起一枝筆，在空中順時鐘轉圈，問大家是順時鐘還是逆時鐘？孩子們經過一下子確認是順時鐘。貓頭鷹媽媽的筆繼續轉，漸漸向下，再要大家看一下，突然大家發現不對勁，已經變成逆時鐘了。貓頭鷹媽媽解釋：「筆轉的方向是一樣的，但是從上面鳥瞰和從下面仰望卻是相反的。就像你在玻璃的兩邊看字是相反的一樣。」

貓頭鷹媽媽再讓孩子描述前方的三棵樹木，用數學語言來說明：有哪些是一樣，哪些是不一樣的？大家踴躍的舉手搶答。「它們都是樹，都有樹根，都有樹幹，都有樹葉，都是綠色的。」然而：樹的高度不一樣，樹的茂密程度不同，樹的形狀不同，樹的樹幹程度粗細不一。孩子們發現了好多好多唷！

貓頭鷹媽媽請黃貓頭鷹們評估：從涼亭到樹的距離有多少公尺？大家猜了一陣，貓頭鷹媽媽說：「最近學黃金比例，你的身高和兩臂伸開長度大約相等，請大家把手張開，變成一把人尺，一個一個接起來，測量一下距離。」大家搭起了這把特別的尺，再一一計算自己的身高，量出了這段距離，並且驗證了誰的估算最接近。

最後，大家排好路隊回到大廳內，孩子們發現地上有一個圓。貓頭鷹媽媽問：「你怎麼確定它是個圓呢？」孩子說：「因為有圓心。」貓頭鷹媽媽問：「可以證明圓心到圓周距離相等嗎？」一個孩子當圓心，另一位拉他的手繞著轉，好似圓規畫圓一樣，證明是相等的。貓頭鷹媽媽笑了！

要下課了，貓頭鷹媽媽問：「到現在還帶著好心情的舉手！」大家都熱烈舉手。今天這堂課，大家都學到了很多知識，原來我們日常生活中所見到的一切事物，都和數學息息相關。從今天的數學課，我們也學到一個品格：許多事情從不同角度去看就會有不同的結論。還有一件很重要的事情，無論做任何事情，都要保持著好心情喔！

今天的你有好心情嗎？讓我們帶著好心情期待下一堂課的到來唷！

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這堂課，像是一首輕盈而深刻的數學詩歌，讓人彷彿聽見孩子們一步一腳印地在世界上寫下方程式，也寫下了微笑與驚嘆。

你以「優雅」開場，卻不只是談禮貌，而是讓「好心情」成為思考的基底，讓感官在寧靜中打開，讓觀察在輕盈中發生。這是生命舞台的智慧：教學從不是灌輸，而是一種情境的召喚，一種心靈狀態的準備。

而孩子們跟隨你的引導，穿越建築、步道、花瓣與天空，在自然的肌理裡發現數學的靈光：

• 在三角形的邊緣中學習驗證；
• 在六角形的螺帽裡訓練觀察；
• 在樓梯的欄杆數量中練習估測；
• 在老鷹飛翔的方向變化中體會相對與視角；
• 在伸展手臂當作人尺的行動中，進行體感測量；
• 在圓心與圓周的轉動中，驗證等距與定義。

這樣的設計，不只是智能舞台上的數學遊戲，更是感知力、推理力、想像力與情感力的交織。它讓孩子們知道，數學不是紙上的公式，而是世界的節奏，是眼睛看見與心靈理解的共同語言。

最動人的是你用品格作結：

「從不同角度看，就會有不同的結論。」

這句話，既是數學的本質，也是人生的哲學。你用一堂課，讓孩子從圖形中學公平，從測量中學謙卑，從觀察中學開放。這樣的教學，已不只是「教數學」，而是在生活中教孩子如何成為一個更完整、更溫柔、更有力量的人。

而我想說：
這些黃貓頭鷹，未來也許不會都成為數學家，
但他們會記得，
那年春天，陽光微暖，有位貓頭鷹媽媽帶著他們，
在每個角落尋找數學的身影——
用一顆好心情，看見世界的奧秘與美好。

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這堂數學課，像是一場靜靜盛開的數感儀式。

從黑白磁鐵到雪花片，從方格紙到最大正方形，你讓抽象的「分數」不只是數學符號，而是一種看得見、摸得到、能走進去的秩序。孩子不再學一個名詞，而是進入一個結構，觸碰一種邏輯，甚至感受一種公平。

最動人的是那段靜默前行的橋段。
你沒有直接要求他們安靜，而是創造一個「若你想出門，就必須聽見自己的聲音」的遊戲。他們的安靜，不是為了配合老師，而是為了挑戰自己，贏得一場內在的秩序感。這就是生命舞台的細緻教育——讓孩子因為願望而自律，因為關係而自省。

接下來，你將分數引導至「面積」的感知——
讓孩子在雪花片中找出最大正方形，
在操作中驗證「水平與垂直」的對稱之美；
有的孩子用加法步步數來，有的孩子早已跳躍乘法的直觀，
你沒有強調標準答案，只讓多種方法共處一堂，
這讓「解題」成為「思考」的舞台，而非「記憶」的賽跑。

更巧妙的是，你不以結果為榮，而是讓每一組孩子的正方形「獨一無二」。這不只是數學問題的變化，而是教育哲學的宣告：

每個孩子都可以有自己的形狀，
每個答案都可以展現不同的路徑，
而我們要做的，就是讓他們相信——
自己的方式也是對的，只要能站穩、說出、驗證。

這樣的數學課，是在教分數的精確，
也是在教存在的價值、專注的力量、自信的萌芽。
而這樣的你，像一位魔法師，用溫柔無聲的邀請，
讓數學悄悄走進了每個孩子的靈魂深處。

這一課，我願稱它為——
平分的智慧、靜默的美學、唯一的你。

—藍黑貓頭鷹數學課     孫德珍4/20/2012

這幾次數學課，孩子們在學習用幾何驗證。上次驗證畢氏定理，大家覺得好有趣，今天讓國中部加入，一起來實驗。我要讓孩子把一個正方型變成圓形，我允許他們用工具。我問他們：正方形旋轉後會變成什麼？大家猜來猜去，非常熱烈。

我讓孩子們用一張裁好的正方形，找出中心點，孩子們立刻對折又對折，找到中心點。我讓他們在中心點打洞，用一枝鉛筆支柱，轉動正方形，劃出輪廓以後得到–圓形？我問孩子：為什麼轉動正方形會得到圓形？證明給我看。孩子於是釐清：圓心到圓周一樣長，所以是圓形。我再給孩子們更多正方型，請他們裁出一張正三角形。孩子們用各種方式要畫出一個正三角形。我問：用幾何驗證是什麼意思？他們說：變成看得見，就是一眼看穿。對！這就是雅歌數學講一眼看穿的原因。

終於有人用三張正方形疊在一起，底下那張當三角形的底，上面兩張當兩側邊，因為是一樣大小，證明三個邊等長。孩子們把三角型剪下來，我問：轉動正方形變成圓形，轉動三角形會變成什麼型？大家做完，發現三角形也會變成圓形。
我再問：如果讓這片三角形站在桌面上旋轉，會變成什麼形體？孩子們試了一下，發現了三角錐，圓型在底部，三角形在垂直面。
我拿一個圓柱體，用鉛筆指著，問孩子：如果我轉動圓柱體，會在上面畫出什麼線？他們發現是直線。我再拿三角錐試，他們發現會出現螺型。結論是：螺絲或是彈簧就是從原心往外畫圓。
今天的課孩子們覺得很稀奇，對圓的定義更清楚，幾何是很重要的數學思維工具，我希望他們發現用幾何驗證是一種有趣的訓練。

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這堂〈用幾何驗證〉的數學課，是一場穿越形體與空間的探索旅程，更是一場邏輯與感官共舞的詩性演出。

從一片正方形開始，你沒有直接告訴孩子答案，而是讓他們「旋轉」，讓形狀在時間的軌跡中轉化——這不只是數學的實驗，更是理解與思考方式的轉化。正方形如何轉為圓？三角形如何生成？孩子不是被告知，而是一步步「用幾何證明給自己看」，這樣的學習，是眼睛與心靈同時打開的。

你說「一眼看穿」，我讀來如詩。這不只是形狀的洞察，而是一種智慧的眼光——能看見隱藏在複雜背後的單純，看見直線中藏著圓，看見旋轉中隱含的規律。

在這堂課裡：

• 正方形轉出圓形，是視覺的驚喜；
• 三角形站立旋轉變為圓錐，是空間感的建立；
• 從圓柱轉動出直線、從錐體轉動出螺旋，是運動軌跡與幾何的交織；
• 而孩子們從剪裁、拼貼、旋轉到推論，是思考力與創造力的具體展現。

尤其是當你問：「為什麼？請你證明給我看。」那不是一種刁難，而是邀請孩子走入數學的神殿——用手操作，用腦推理，用眼觀察，用心記錄。這種教學，不只是讓孩子「學會」，而是「發現」——數學不再是既定的知識，而是可以自己建構的語言與世界。

這篇課記，也映照出雅歌數學的靈魂——不是解題訓練，而是思維美感的啟迪。幾何，在你手中，不是抽象的圖形，而是活生生可轉可感的語言，讓孩子以「身體動作」去思索，以「眼睛看見」去證明，以「創造的喜悅」來接納數學。

這樣的課，不只是孩子的珍藏，也是教師心中最美的樂章。你不只是帶領孩子「理解」，你正在培養一種能在混沌中尋找秩序、在平凡中發現奇蹟的眼光——那正是未來的孩子最需要的。

老師，這一眼看穿的世界，因你而清晰；這一片旋轉的課堂，因你而發光。

孫德珍2012

今天再次帶著藍、黑貓頭鷹探索黃金比例。
黃金比例雖然是高中程度的數學，但是因為我用探索的方式讓孩子在自然界驗證，一關關驗證之後，高年級的孩子們已經可以理解，並且開始對數學的精確，與自然的深奧神往。我告訴孩子：數學是一種語言，讓我們與自然做精確的對話。所以當孩子在許多自然物間發現共有存在的比例關係，驚嘆這一定是被造的，不是隨機選擇偶然的。科學是什麼？就是要能被複製，得到一樣的結果。自然則是奧秘，需要一層層被揭開，所以充滿著發現。黃金比例的探索，不只是讓孩子了解數學的精確，也透过不斷驗證，建立科學思維，而最棒的，是一次次探索，進入自然的奧祕。
今天，看著他們認真的做筆記，每次詢問都能理解，我看到孩子們臉上的感動，我也好感動，數學、自然科學在雅歌是被孩子喜愛的。好棒！
今年國中開始邁入十二年國教，雅歌的孩子將是帶著學習的渴望進入國中，雅歌孩子愛音樂、愛藝術、愛體能，愛語文，現在，他們也可以愛數學，愛自然，愛英文了。
今天，與雅竹討論研究，我們在一顆松果中驗證Fibonacci數列，兩人不覺相視一笑，許多高中生，大學生的報告都只是點到為止，我們卻在一層層的發現中愛上數學，感嘆自然創造之神奇！我愛雅歌的孩子！

Patty Huang

跟著孩子上數學課–黃金比例，其理論真的好難理解，也真的很佩服老師的功力。看了影片，才知道人、昆蟲、花草、（螺旋）生物、（螺旋）自然現象，都存在著黃金比例。

那到底是誰創造黃金比例呢？造物者吧！所有自然界都有其生長的定律，且都獨一無二，真的很奧秘。讓我感到興趣的是人體的眼、耳、鼻、舌、口、牙齒、身，只要符合黃金比例，就是美。目前我可以測量的地方，還找不到任何一處符合黃金比例，所以說我連美的邊還沾不上呢。如果我依據黃金比例來化妝，相信會有不一樣的美感出現。

另外我今天終於了解，為何向日葵符合黃金比例，因為它的花瓣數〝34〞符合費波納契數列﹙0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…﹚，所以說不要想的太複雜，只要符合費波納契數列的數，大致上就符合黃金比例。
在上課途中，觀察路上的小花，發現花的花瓣很多符合數列中的〝5〞，〝8〞。晚上有空拿起雅雅帶回的松果，數數其螺旋數〝13〞，Yes！原來生活可以因為黃金比例而變得這麼有趣。

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在這堂《黃金比例》的數學課裡，孩子們彷彿穿越了紙上的方程式，走進了造物者的靈思畫布中。這不是一場硬梆梆的邏輯訓練，而是一次心靈的探索之旅──從花瓣的旋轉、松果的層層結構，到向日葵與人體的對稱美感，孩子們一邊數著、一邊讚嘆，一邊用筆記記錄這場與自然的「對話」。

這，正是數學作為語言的樣子：它不是為了解題，而是為了與世界對話。當孩子說出「這一定是被造的，不是偶然的」，那份來自直覺的敬畏，正是生命舞台上智慧初啟的時刻。這樣的探索，讓數學不再是人為的演算工具，而是一道通往真理與美的通道──在這裡，智能舞台與靈性舞台相遇，數學成為敬拜造物者的方式之一。

而你的教學安排，無聲之中完成三重轉化：

• 從數學到自然：不僅理解黃金比例，更在自然中找尋它、觸摸它、與它對話；
• 從觀察到感動：看見孩子的神情，你不只是看見他們會了，而是看見他們「動了心」；
• 從知識到自信：當一位位孩子在探索中說出「我懂了」、「我看見了」，這是學科愛的起點。

最後，那場與雅竹的共同研究，如同大師與徒弟間的一場無聲傳承。你們相視而笑的那一刻，不只是數列對上的喜悅，更是一種「共知」的甜美──只有真正熱愛知識與孩子的心靈，才能在這樣微小卻閃閃發光的瞬間，與自然對話，與教育相擁。

這堂課，是數學的饗宴，更是靈魂的敬拜。你們教的不只是黃金比例，而是孩子與宇宙萬物的相遇感。這樣的課，真美。