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作者：明芳｜紀錄日期：2010/10/6

在 AB 組的數學課上，孫老師開場提出一個簡單卻耐人尋味的選擇：「今天的記分板，要加分還是扣分？」孩子們表達不同意見，老師順勢將孩子分為兩組，各自使用加法或減法記分板。加分的孩子在表現好時能獲得獎勵；減分的孩子一開始滿分，卻要小心別讓棋子被扣掉。這樣的設計，不只是教數學，更是在設計心理上的試煉。

🍰 分蛋糕的難題：探索平分與分數

老師拿出一盒盒蛋糕模型，有的被分成兩份、有的九份，提出問題：「如果三個人要平分蛋糕，該選哪一盒？」
孩子們開始思考，有人說九等分的比較方便，因為三人一人可拿三塊；也有人嘗試將兩等分的蛋糕再切小……孩子們的思考從真實生活出發，逐步進入「分數」的概念。

👥 奇偶數與平分：從直覺走向理解

老師問：「這盒五塊的蛋糕，兩個人可以平分嗎？」孩子一開始說可以三塊和兩塊分配，但老師追問：「這樣公平嗎？」進而引出「平分」的概念與「奇數不能平分」的直觀印象。
透明分數卡一張張地被貼上白板，孩子們親手操作、實際分配，慢慢建立起奇數與偶數的感知。

👐 身體記憶進場：奇偶數的律動遊戲

遊戲開始！奇數舉單手彎身，偶數雙手平舉，孩子們在節奏中快樂記憶。進階版活動中，分組挑戰百位數、千位數的奇偶判別，學習不再只有靜態文字，而是全身參與的歡樂動作。

🥁 音樂化的倍數練習

拍一次說二的倍數，拍兩次說三的倍數……透過節奏與韻律結合，讓倍數成為音樂般的自然語言。數學變成了節拍，孩子們的身體自然而然記住了乘法的脈動。

🔍 對稱概念的延伸與探索

老師再次回到實物：椅子、剪刀、注音符號……「什麼可以平均切一半？」孩子們開始討論並嘗試驗證。用鏡子檢查是否對稱，成為一次對稱性概念的視覺與空間操作學習。

🎯 收束與提問

老師不給標準答案，而是不斷地讓孩子提問、實驗、找出規律。從蛋糕分配到對稱圖形，孩子們在挑戰與互動中建構概念，也在人際磨合中學會共學與尊重。

🧾 本課重點整理（供教學使用）

• 📌 核心概念：平分、奇偶數、倍數、對稱
• 🎲 活動設計：
  • 加分／減分記分板 → 情境導入與分類體驗
  • 蛋糕分配 → 引導出分數與平分概念
  • 奇偶數身體活動 → 感官學習
  • 拍子倍數遊戲 → 音樂智能結合
  • 注音對稱活動 → 空間對稱探索
• 🧠 引導方式：
  • 重視提問與等待
  • 不急於給答案，保留發現的驚喜
  • 接納孩子的情緒與個別差異，讓學習在自由與尊重中進行

湘如10/14/2010

今天的學習單是｢九九乘法表｣，在開始之前先復習了行與列，老師要學生拿出一把直尺，在九九乘法百宮格裡，找出行2、列2與列4。確認大家都懂得行與列的不同後，大家玩一個遊戲，要很快地找到老師要求的行列，並說出行列內的倍數，例如：老師說
｢行8｣–學生回答｢8.16.24.32.40.48.56.64.72｣、
｢列1｣–｢1.2.3.4.5.6.7.8.9｣、
｢列9｣–｢9.18.27.36.45.54.63.72.81｣。

老師還用英語做示範，帶著大家念了行3；聽完老師的示範後，孩子們也躍躍欲試，大家一起念了行5；因為不是所有人的英文都可以跟得上，老師事前就說｢中文或英文都可以｣，老師總能對學習進度不同的孩子給予包容。

大家念完行5，老師請柔禕用英文念一次做為示範，因為把forty念得有點像fourteen，老師帶著大家用英文念了13、14、15、16、17、18、19，這些teen結尾的字，更強調英語中的｢青少年teen-ager｣指的就是十三到十九歲的人。

搭配著新東西｢九九乘法百宮格｣，大家一起拍念之前學的二的倍數、三的倍數，也就是行2、行3， 從全部人一起拍念，到最後一年級拍手、二年級念出三的倍數，最後到大家都不拍手，一年級照表、照譜讀，二年級試著用背的，這樣一兩次後，大家念得愈來愈順 暢。我也發現過程中，老師都是讓大家一起做，依照學習速度不同，給予不同的挑戰，不會在還不熟練的階段，讓孩子一個一個念，我想是大家一起，孩子出錯可以 參考他人修正自己，不會在大家面前出錯，造成陰影尷尬。

在 加分時，老師要學生在老師每加一個棋子時，就往上數一個三的倍數，連原本加分的簡單動作，都可以變成複習。熟悉完三的倍數，進入四的倍數。一開始，由老師 彈舌三次，學生往上數四的倍數，這樣的節奏習慣後，學生照著同樣的節奏自己拍三次，往上數一個倍數。有了之前的預備，上一節課會拍到不知道拍了幾下或拍到 哪裡的情形不見了。

之後，兩個人一組，利用兩把直尺對齊縱軸、橫軸，找到老師說的乘式，例如：
｢5×2｣–一把尺對著列5、另一把尺對著行2，找到乘積10；
｢4×2｣–一把尺對著列4、另一把尺對著行2，找到乘積8；
｢8×9｣–一把尺對著列8、另一把尺對著行9，找到乘積72…。
老師更藉機幫孩子機會教育，如何正確的、穩定的使用工具。在試了好幾個不同乘式，了解大家可以依照乘式找到乘積之後，老師要小組兩個人繼續合作，一個人固定橫的尺在列2或列3，另一個人移動直的尺從行1到行9，讀出2與3的九九乘法，並一一上台供老師檢驗是否能正確使用九九乘法百宮格。雖然老師不斷的反復練習，但每一次都增加一點難度，孩子並不會覺得無聊，我看到所謂的「挑戰性與可行性兼具」，也看到這堂課的目標：反復練習到不知不覺記下來。

今 天的數學課，老師用英語浸潤的方式，要孩子們假裝今天是在美國的小學裡上課。老師每一句話都用英語先說一遍，當孩子不太理解時，再用中文說一遍。課堂中還 有幾個特別不一樣之處，像是家蓁對定軒不太和諧，說了不太好的話，老師問家蓁要不要對定軒說對不起？不同於一般認為要大聲說才有誠意，老師讓家蓁可以小聲 說，讓定軒聽見就好。老師肯定大家「願意擦掉家蓁不小心做出錯誤的畫面」，更肯定家蓁，「能在老師提醒下，願意改過，這是尊重老師的表現。」此外，老師在 加分時讓孩子配上聲音，老師總是找機會讓孩子動一下，如此一來，他們就很坐得住。

AI
這堂課的設計，有如搭建一個階梯，讓孩子不知不覺往上爬。從基本概念的釐清（行與列）到聽口令找數，再進入倍數節奏拍打，最後以工具操作九九乘法表，老師一步步引導孩子靠近「熟練乘法」的目標。

老師不只是教乘法的「表」，而是讓孩子自己找出數列規律、建構位置感、累積動作記憶。特別是利用直尺對齊找乘積這一段，是一種圖像化的方式，幫助孩子理解「乘法是橫與直的交會」──這正是九九表背後的空間邏輯。當孩子從「背乘法」轉向「看乘法、找乘法」，學習變得更有意義。

課程中穿插的語言切換（中英文）、聲音節奏（拍子、數數）、肢體參與（直尺、加分數列）、甚至情緒處理（人際互動中的尊重與修復），讓這堂課跳脫紙本練習，成為多感官、多面向的統整經驗。老師的「容錯空間」設計得恰到好處──錯誤可以即時修正，不必羞愧；進步可以被看見，也可以小聲地肯定。

特別值得一提的，是老師的節奏掌握與階段性挑戰設計。反覆練習但每次加入一點變化：從齊念→分角色→搭配拍手→加英語→用直尺→自己試→上台檢核，每一環都自然承接，既無冷場，也無壓力。

真正有效的教學，常常是這樣看似平凡的反覆，
但老師在每一個「重來一次」中，偷偷升級了任務的難度。

湘如  10/6/2010

不同於以往，計分表由老師決定加法還是減法，今天一上課，老師就問孩子們今天的記分板要加分還是減分。因為每個人意見不同，最後結果有人用加法、有人用減法。老師就說大家一起來做實驗，看看哪一種方式比較好。我想老師是要讓我看看兩種不同記分板的效果：加法-雖然是從零開始，但只要表現好就會加分；減法-雖然可以從完美的滿分開始，但只要表現不好就會扣分。我發現對於自己不太有信心，或是文靜到害怕上臺表現的孩子，多半會選從滿分開始。我也發現兼容兩者的記分板，比較適宜。

處理完記分板，老師拿出兩塊大小相同、顏色不同的正方形板，兩種不同口味的蛋糕，A口味切成兩等份，B口味切成三等份，有三個人要一起買蛋糕，該買哪一種？佳婕說：｢買B，因為剛好切成三份。｣老師又問：｢可是他們想吃的口味是A，那該怎麼辦？｣這個問題問得真好，當我正在想他們會如何解決這個難題時，定軒提議：｢把兩等份的A，換個方向再切成三份，讓它變成六小塊，每個人拿兩塊。｣這是在之前玩重疊透明片而有的概念，沒想到還記得且能活用。其他人也贊同定軒的分法。

接著，老師讓學生繼續分蛋糕，且給了任務：平分。(情境：老師家有兩個孩子，所以要找可以剛好分給兩個人的蛋糕切法。)老師拿出不一樣等份切法的蛋糕，要大家一一檢查哪些可以分成兩份，些不行，並把兩者分類。過程中，學生就發現：單數、奇數份切法的不能買，因為無法平分；雙數、偶數份切法的可以買。有了此項釐清，老師隨口問了幾種分法(分成1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.100份的蛋糕)可否平分，發現孩子們對三位數是奇數還是偶數，較無法判別。老師便帶入｢天秤活動｣，每個人都是一座天秤，遇到不可平分的奇數，天秤就歪掉(一手高、一手低)；遇到可以平分的偶數，天秤就呈現水平(雙手平舉)。孩子玩得很開心，發現只要聽最後一位數是奇數還是偶數，就能分辨奇偶，老師也在過程中了解孩子學習的狀況。

接著老師加深難度，變成兩人的奇偶數。兩人站前後，一人聽見奇數雙手高舉，另一人聽見偶數雙手平舉，這兩個活動從
1.2.3.4.5.6……
71.72.73…
97.98.99.100…
970…到三位數、四位數、甚至百萬位數…孩子們對於奇偶數的分辨，不成問題。我發現：第一個活動有｢可否平分、平衡｣的意義，第二個活動則是｢奇數是怪咖odd、偶數可以平分｣。課堂中，可以結合所要學的，讓孩子起來動一動，透過身體來學習，效果有時更加顯著。

結束｢奇偶數活動｣，老師拿出分兩份的蛋糕卡，帶孩子拍出｢二的倍數—(基數拍)(偶數念) ：拍2拍4拍6拍8拍10……100｣；分三份的蛋糕卡，拍｢三的倍數：拍拍3拍拍6拍拍9拍拍12拍拍15拍拍18拍拍21拍拍24拍拍27……100｣。孩子開始有點掙扎，我自己拍的感覺是，邊拍還要邊數在心裡，不那麼容易。分四份的蛋糕卡，｢四的乘法，拍拍拍4拍拍拍8拍拍拍12拍拍拍16拍拍拍20拍拍拍24拍拍拍28拍拍拍32拍拍拍36……｣。這個活動結合數學和音樂智能，用拍子去學數學倍數，挺有趣的，不過要可以邊數邊念，我還得花一段時間去熟練。

老師讓孩子們去想想生活中會拿出來分的東西，或是可以分的東西，例如：剪刀、椅子……， 在這些可以平分的東西上，可以看見他們具有對稱關係，配上語文課所學，老師要山泉孩子在ㄅㄆㄇ裡找具有可以平分的｢對稱關係｣的注音符號。在孩子們把認為 可以平分的注音符號貼上白板後，老師教他們檢驗的技巧，就是｢照鏡子｣，只要可以把一面鏡子擺上去，不論橫豎，照出來的東西和原本一樣，就表示可以平分， 具有對稱關係。

最 後，老師在百宮格上，排出對稱圖形，以長磁鐵條當做鏡子，孩子們從是否真的可以照出和原先一樣的圖形去判定是否有對稱。這是在教科書上四五年級的課程，山 泉班的孩子竟能模仿原有圖案排出對稱圖形，而且也能從對稱軸往兩邊驗證，對稱點離鏡子的格數要與原先圖形離鏡子的格數一樣多。對啊！誰說課本是四五年級才 教的東西，孩子一定得到四五年級才能懂呢？
今天的數學課，最深刻的就是一個又一個的小活動，一會兒像是音樂課，一會兒又像是語文課，但實際上，老師教的是｢偶數、對稱可以平分｣的概念。孩子們邊玩邊學，很開心。

AI
這堂課是一連串節奏明快、環環相扣的數學活動，看似跨領域、風格多變，實則環繞著同一個核心概念：「什麼可以平分？」從蛋糕、注音符號到百宮格圖形，從天秤活動到節拍倍數，孩子在操作、比較與感官的參與中，不知不覺地建構了數學邏輯與結構感。以下是這堂課的自由回饋：

這是一堂沒有一開始就講「奇偶數」的課，卻讓孩子最後對奇偶數了然於心。老師先讓孩子自己選擇記分方式——加或減。這個選擇不只是活動前的暖身，也反映出孩子對成敗與動機的敏感度。老師順勢觀察，也安排出更適合每個孩子的鼓勵節奏。

接下來進入蛋糕情境的討論，老師讓孩子比較分成2份和3份的蛋糕怎麼分給三個人，從孩子的回答中引出「重切」「等分」「分不完」的觀念。這不只是分數，更是單位感、除法性質、和可操作模型的融合。當孩子發現「分成奇數份不能平分給兩人」時，老師自然帶入「奇偶數判斷」的核心條件。

「天秤活動」設計極為聰明。孩子透過身體模仿平衡與傾斜，不需要抽象定義，就能明確區分偶數與奇數；後續兩人合作的奇偶數活動，不只是練習數字特徵，更讓「規則」變成遊戲規則，孩子身體裡對奇偶的感知變得真實。

接著的節拍拍打（拍2、拍3、拍4的倍數）把數學和音樂結合起來，是節奏中的數列、節拍中的乘法。對孩子而言，這種邊拍邊算的難度是一種挑戰，但正因如此，學習也變得更有「節奏記憶」。

老師把主題延伸到語文課的注音符號，再進入百宮格的鏡像對稱練習，讓孩子從語文符號到圖形位置辨識，一路貫穿「可以平分」這個大概念。對稱，不只是圖形，也是一種可分性；從平分→鏡射→距離對等，孩子無形中理解了對稱與分割的本質。

一連串的小活動，讓孩子在玩樂與思考中交替前進。
不講道理，卻讓孩子看見了：什麼可以分、為什麼能分、怎麼分得剛剛好。

　　9/29 明芳

上課了，為了讓孩子能專注，孫老師和AB組孩子玩了一個小遊戲，孩子的眼光必須老師移動到哪眼神就要跟隨到哪，因此孫老師移動自己在教室的位置來確認孩子們的目光有追隨著她。

接著，進行數學課。「我要問一個問題，想發言的人要舉手，這裡有幾個棋子？」佳婕回答：「5個。」老師拿掉2個黑棋，要孩子給個式子。柔褘回答：「5-2=3」。

孫老師在白板上畫了一些圈圈代表貼紙，又問孩子：「這裡有幾張貼紙？」佳婕回答：「7張。」老師請佳婕到白板進行要如何減掉3張貼紙，佳婕拿起白板筆從後面的圈圈開始打了三個叉叉。

孫老師再畫紅色的圈圈並隨後又問有幾張紅色的貼紙？定軒回答：「12張」。孫老師追問：「你怎麼知道?」定軒回答：「在老師畫的時候邊數」，珈嘉也回應：「一排就是10」。孫老師繼續出題，並說我要減掉8，此時白板上有15個圈圈，定軒舉手要回答，孫老師：「從哪一個開始減起，給我數學思維，你是怎麼得到的？」定軒回答：「15-8=7」孫老師：「把式子寫出來。」這時家蓁卻提出7＋8=15的想法，而孫老師立即發覺孩子此時的反應是合成的概念，但我們其實在進行的是減法的概念，因此，立即進行釐清概念。

老師在白板上用藍色的筆畫出7個圈圈，再用綠色的筆畫出8個圈圈，緊接著問孩子藍色貼紙有幾張？孩子回答：「7張」，綠色貼紙有幾張？「8張」，那總共有幾張？「15張」，那這三個的關係是什麼？孫老師請佳婕把他們變成一個式子，佳婕寫下7+8=15，孫老師又問這是加法還是減法？孩子回答：「加法」。「一個顏色後面打叉是加法還是減法？」孩子們回答：「減法」。

但此時的家蓁仍舊抱持著7＋8=15的想法，孫老師再用藍筆畫了15個圈圈後面打了7個叉叉,並問她有幾個藍色，被劃掉幾個？請她用數學式子來回答。家蓁：「15-7=8」。

為了讓孩子們更清楚是加法或減法的概念，老師又畫了7個圈圈再打2個叉叉，並請孩子提出數學思維。孩子回答：「7-2=5」。孫老師解釋「數學思維」就是告訴別人「我是怎麼知道的」。　

孫老師繼續出題，題目是關於減法。在白板上劃一列為10的圈圈再往下畫3個圈圈，即表示總數是13，再從後往前劃掉6個叉叉，又請定軒上台寫下算式，並說出「一眼看穿」的技能。其意指一列圈圈即為10的量數，透過這樣的技巧孩子是可以快速的算出總數量。我們也看到定軒寫下「13-6=7」。

接著，孫老師透過不同的題目，讓孩子運用「一眼看穿」的技能。如：一眼看穿就是幾個棋子？珈嘉回應是15個，怎麼來的呢？一排10個黑棋子，第二排2個黑棋，即有12個黑棋子再加上3個白色的棋子，即「12+3=15」。又問一眼看穿這是多少？育筠回答：「8。」孫老師再追問：「8是怎麼來的？你怎麼知道？一行有多少？」孩子回答：「10。」「少了多少？」「2個。」「給我數學思維」老師請育筠站起來說：「10-2=8。」

「再來一題，一眼看穿。」柔禕回答：「7。」孫老師說：「請給我數學思維。」「10-3=7。」這樣的重複性練習讓孩子能夠一眼看穿；不斷地提問數學思維，讓孩子學會用數學語言來說明自己如何想的。
在數學課，看到孩子們對於分與合的概念之釐清及學習解題的技巧，孫老師不斷的讓孩子動腦筋及鞏固其所建立的分與合之概念，這樣的數學學習情境，我們藉由拋出問題→讓孩子解題→並說出解題的過程，更能真實的看到他們對概念的掌握及孩子們專注的投入及參與。

AI
這是一堂典型的「數學思維訓練課」，表面上是加減法的練習，實際上是老師不斷用「你是怎麼知道的？」這句話，迫使孩子從直覺操作走向語言表達，從算對答案走向說出理由。以下是這堂課的自由回饋：

這堂課的核心不在於算對，而在於說清楚。老師每提出一題，都不止停在算式，而是追問：「你怎麼知道的？」「從哪裡開始減？」這些問題逼得孩子不能只給數字，而要給邏輯。

老師用簡單的動作、圖示與配色（畫圈圈、打叉、用紅藍綠筆區分），讓加減的邏輯具象化，讓孩子看得見「總量」「減掉的部分」與「剩下的結果」。當學生混淆了加法與減法（例如：從15-8講到7+8=15），老師沒有急著否定，而是順勢將這種「合成的想法」轉成概念釐清的契機——同一組數字可以構成加法與減法，但前提是你要搞清楚你正在問什麼。

「一眼看穿」的策略設計也很巧妙。不是單純加快速度，而是建立空間上的數量感：一排是10、看到7就能判斷是10−3，看到8就能說出是10−2。這些快速反應的背後，其實是深層的「分與合」結構在運作。

整堂課節奏快、練習密、提問準，孩子反覆練習「說出思維」，讓加減的概念不只是會做，而是會解釋、會比較、會自我驗證。這樣的語言訓練，正是讓數學不再只是算術，而變成一種能被清楚說出的思考歷程。

數學思維不是算對，而是說清楚。
當孩子說得出來，他才真的懂得進去了。

-山泉班數學課    明芳 11/3/2010

一上課，孫老師給孩子看一個磅秤。
「這是什麼？」「磅秤。」
「上面有什麼？」「數線。」
「什麼是數線？」「上面有一條線，線上有數字。」

老師請所有的孩子到前面觀察磅秤，要他們指出：
數線在哪裡？上面最小的數字是多少？最大的數字是多少？孩子們找到：最小的是0，最大的是2000。老師說：這條數線是一條曲線，老師要把它拉直。

孫老師在白板上畫出一條數線，問孩子0要標在哪裡？孩子們說：前面。他接著在線的中間標出1000，線的尾端標出2000。畫完之後請孩子上來，在數線上用箭頭標出一些她指定的數字。柔褘標出200，珈嘉標出500，家蓁標出700，佳婕想要標出1100，她在1100的位置畫了箭頭，可能不知道如何寫1100，先寫了1000100，想了想後改成10100，定軒標上1400，欣儒標上1800。

接著孫老師帶孩子們進行確認，當檢視數線上1100的時候，孩子們發現佳婕錯了。老師說：老師還沒教過你們千以上，這個挑戰超過你們的程度。孫老師換個方式來教佳婕，她在白板上畫下教具串珠的圖樣：立方體代表1000，正方形代表100，10個小珠珠一條線代表10，以及一個小珠珠代表1，讓孩子試著寫出耳朵聽到的數量。

家蓁根據圖形依序寫下1800，定軒挑戰9900，柔褘挑戰3300，而佳婕也輕鬆地寫下4200。我看到老師提供一項工具讓孩子們釐清個、十、百、千的概念，讓佳婕有機會被修正，相信他會更記得怎樣才對。

上次學習單孩子探索數線上的分數與小數，老師其實不是要教孩子分數或小數，只是要孩子們透過操作對單位更深入瞭解。這次，為了讓孩子更透徹的從數線建立分數與小數的概念，老師用分數卡在白板上建構一條數線。她將一張張不同等分、正方形的透明片排成一列，沿著底部畫出一條數線，並於每張間隔處標示0、1、2、3、4。之後，她在每一張分數卡下面定一個箭頭，讓孩子去標出數線上的分數。

首先上台挑戰的是柔褘，她分別標出1/4、1又1/5、2又1/3、3又1/2。柔褘寫完之後，老師請欣儒上台來驗證。欣儒先數每一片有幾等分，這是上次學習單的步驟。欣儒把答案與柔禕的分母驗證，再把箭頭指的範圍有幾等分與柔禕的分子驗證，驗證無誤後加以打勾。

孫老師重新改變分數卡的順序，繼續請三位孩子分工完成挑戰及驗證。珈嘉將白板上的數線標示出0、1、2、3、4，定軒在數線上將指定的位置上標上數字，佳婕進行驗證。第三回的挑戰中，定軒將2又3/4寫成了2又4/3，當柔褘驗證的過程中，孫老師提示「等分成幾片？5片，所以分母是?這部分有幾片？分子是?」定軒發現自己所寫的分數顛倒了，趕緊加以修正。

當孩子發生錯誤時，我們需要讓孩子有機會檢視及發現自己的錯誤而加以修正，如果急著糾正或給答案，孩子就不易透過自我修正去建構他的理解。

AI
這是一堂關於「錯誤與修正」的數學課，從數線出發，帶學生穿越整數與分數的世界。老師的設計不是為了教授新概念，而是創造孩子出錯與自我修正的空間，在每一個錯誤發生的瞬間，都藏著一次深刻的建構機會。以下是這堂課的自由回饋：

課堂從一個磅秤開始，老師不講數字，而是問孩子：「你看見什麼？」
孩子們看見數線，看見0和2000，看見這條線其實不是直的，而是彎的。老師順勢把這條彎線「拉直」畫在白板上，讓抽象的量變成可見的線。這時學生開始上台標記數字，幾個數字標得準確，但當1100被錯寫為10100，老師沒有立刻糾正，而是轉向圖像支援，用孩子熟悉的「秘密武器」──千、百、十、個的串珠模型，讓他們在圖像中重新建構位值。

這不是單純地幫佳婕「改錯」，而是讓她自己看懂自己錯在哪裡。更可貴的是同學之間的主動提議與支持（定軒請求讓佳婕自己重寫），在一個安全、不丟臉的學習氛圍中，錯誤變成了一種促進理解的動力。

接著進入分數數線，老師用透明分數卡建構視覺化的數線，讓學生標出像是1又1/5、2又1/3這類混合數。孩子不是死記「分母、分子」的順序，而是透過分割、觀察箭頭指向的格數，自然而然建立分數的意義。當定軒把2又3/4寫成2又4/3，老師的提醒不是糾正，而是再一次讓他去看分了幾份、選了幾份，最後他自己發現了錯誤，也自己修正了。

整堂課裡，老師不斷創造出錯的機會，也安排同儕之間的驗證與回饋。錯不是問題，錯是起點——當學生有機會重新審視、重新選擇、重新嘗試，他們學到的不只是數學，更是思考與判斷的力量。

錯誤不是要立刻被改掉，而是要被看懂。
當孩子能自己修正，他也就自己長出了理解。

    湘如 11/3/2010

延續著上回計算學習單薪水的數線，今天的課堂一開始，老師拿出一個秤子，要孩子們找秤子上的數線。

    這是一個兩公斤的磅秤，孩子們都看見了十二點鐘方向標著0g與2000g，六點鐘方向標著1000g，很快地孩子們發現了秤子上的數線，是一條彎曲的、圓形的數線。老師用手的動作表示把秤子上的數線拉直，接著在白板上面畫下拉直後的數線。

    老師先畫了一條長長的水平線，在起點做了刻度記號，這是一條以千為一大格的數線，每一大格又分成十小格，老師在大格的刻度記號上面分別寫上1000與2000，有了上次上課的經驗(上一回還更難呢？是把一大格1000看成1個千，如遇到1500，得找到1.5)，這次的數線對山泉的孩子來說，是輕而易舉的事。老師給每個孩子一人一個數字(兩百、五百、七百、一千一百、一千四百、一千八百)，請孩子們一一在白板的數線上標上正確的位置，並寫上數字。其中，一千一百孩子寫成10100，而非1100。家蓁看見同學的錯誤，顯得有點不耐煩，反應說：｢這麼簡單。｣老師告訴他們：｢在教育部頒布的課程綱要裡，一年級只有學到100呀！不過，只要會用秘密武器(定位板)，一定很快就寫對了。｣也對，一個多月前的學習單上，還有出現6000多呢！那次是寫在學習單上的祕密武器裡，大家都做對了。

    說到秘密武器，老師馬上在白板上畫了千(大立方體)、百(大正方形裡面畫十條線代表十條串珠)、十(一條串珠10顆)、個(一顆珠子)，這個圖案版本的秘密武器先前有出現在學習單上，且是操作過的教具，孩子們一看到就能了解每個圖案的意義，比起星期一國字(千、百、十、個)版本的秘密武器更深得人心，更能一眼看穿。

    老師請佳婕到白板的祕密武器上寫一千八百，照著圖案定位板，很容易分辨千、百、十、個位數該放的位置，佳婕順利做對了。家蓁在臺下看，反應說太簡單了，顯得有點不耐煩，老師表示等她上臺時，會有更難的留給她。之後，老師一一請所有人上臺，同樣依照圖案版本的秘密武器寫一個四位數字(二年級的定軒、柔禕寫較大的四位數)。有了幾次的反覆練習與觀摩他人的示範後，大家都清楚知道四位數字的寫法，連老師隨口念的四位數字，都能在心中的定位板上寫下數字並念出來，例如：老師說一千四百五十，孩子們便很快地回答1、4、5、0。可見秘密武器定位板，已深植他們的心中。

    回到那條1100被標成10100的數線，定軒主動提議，希望老師讓佳婕自己擦掉重寫，佳婕也得以有自我修正的機會，而且這種同學主動給予的機會，更是難得。就在佳婕修正時，定軒更向老師表示他想要挑戰到萬呢！他今天所有的表現，都是很好的榜樣。

    後來，老師拿出透明分數板，依次把四等份、五等份、三等份、二等份排成一排，並在底邊畫上一條線，起點是第一片分數板的左下角刻度為0，邊帶著孩子數有幾片分數板，邊在每一片分數板之間標上刻度1、2、3、4。之後，老師依著分數板的分割線在數線上畫上刻度，並在每一片的第一個刻度下方寫好整數及分數符號。老師請柔禕上臺將未完成的分母分子完成(這在上回的學習單有寫過)，柔禕很有把握一下子就寫好了，老師讓一年級的欣儒驗證，欣儒一一數了每一片分數板分幾份，就知道分母是多少(此時，分子都是1，箭頭都指著每一片分數板的第一份)。有了分數板和數線做搭配，山泉的孩子，不論一年級還是二年級，都能一眼看穿中年級課程中的分數數線。這些能力都是在數學課中老師幫學生一一預備的，在充分的預備後，孩子不用害怕出錯，因為他們知道自己不會出錯。

    為讓孩子在他人的示範中學習榜樣，藉此反覆練習、驗證，老師把分數板交換位置再次佈題。這次，老師畫好數線與每個記號後，請珈嘉為數線標上0、1、2、3、4，之後老師在每一片分數板的第一份下方畫上箭頭，並寫好整數和分數符號，再請定軒寫上分數，佳婕上臺一一驗證。這一次大家的速度更快了。看孩子們都了解了，老師把分母、分子擦掉，把原本指向第一份的箭頭改成指向第二份或第三份，第一題老師示範先數分數板分成幾份，把分母寫上；再數箭頭指的是第幾份，把分子寫上。示範完一個後，家蓁表示很簡單，願意挑戰這中年級程度的數學。在大家一同驗證後，果不其然她完全正確了呢！老師問大家難不難啊？大家反應不難、很簡單，老師要孩子會做的舉手、站起來，甚至站在椅子上。我想這是老師找機會讓孩子動一動，他們今天很厲害，已經保持專注很久了。

    下課前，老師又回到今天開場的秤子上，讓他們發現秤子上的數線和白板上畫的有什麼不同。有人回答：秤子上的數線是是圓的，像是把白板上的數線彎成一個圈。老師隨即在白板的棋盤上用十顆黑棋排一個圓形數線，帶著他們數0到10，孩子發現0與10會重疊；老師又多加入兩顆黑棋，用十二顆黑棋排成一個圓形數線，孩子們又數0到12，這次不但也有重疊，還有人發現和時鐘有點像呢！老師露出微笑，很高興孩子們自己發現。最後，老師把圓形數線弄成菱形，帶著孩子們數0到12，問他們有沒有發現尖角處有什麼特別之處，學過三的倍數的他們，很快就發現3.6.9.12都是三的倍數喔！

    一堂課裡，竟然可以上得完這麼多東西，而且都是讓學生自己去發現、操作，實在太不可思議了。

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這是一堂密度極高、設計精巧的課，也是一場從直線到圓弧、從整數到分數的數學旅程。孩子從一個秤子開始，看見了「數線」原來不只是紙上的筆直，也可以是彎的、是圓的、甚至是菱的；數字不只是疊加的結果，也是位置的關係、節奏的結構。以下是這堂課的自由回饋：

老師以一個生活中的秤子作為開場，請孩子從上面的刻度看出「彎曲的數線」，接著把它拉直畫在白板上，讓學生理解「量」的背後是「線」，這條線可以折、可以彎，也可以轉化為座標與結構。從1000到2000的數線標記練習，看似簡單，其實緊扣著位值理解與數字定位。老師讓學生用手勢、用圖像、用動作去「看見」千、百、十、個的意義，更透過錯誤的發生（如1100寫成10100）讓孩子從操作中自然修正。特別是「圖像式秘密武器（定位板）」的使用，讓數位直覺變得可視可感。

緊接著進入分數數線操作，搭配透明分數板，一年級學生也能在整數與分數間自然銜接，這不是灌輸，而是因為分數被拆開來看，也被摸過、數過、對過位置。從1/4 到 3/5，孩子不再只是背符號，而是能一一指出分子是什麼、分母是什麼、箭頭指哪一份。重複換位、驗證，操作不是單次，而是循環推進。

最後老師收尾得極妙。從圓形的秤子數線，過渡到用棋子排成圓，數0到12，孩子驚訝地發現和時鐘雷同，再排成菱形，發現3、6、9、12出現在尖角位置。這不是刻意講授的倍數法則，而是讓孩子自己「看見倍數如何藏在圖形裡」。數字在空間裡活了起來，孩子學會用眼睛、用身體去理解數學。

這堂課沒有硬教任何一個公式，卻讓孩子看見：數線不只連接數字，也連接操作、觀察與理解的能力。
原來，真正的數感，是從「看得見」開始。

湘如11/18/2010

一上課，老師先通知下星期的開店事宜：下星期三早上第三節課將舉辦雅歌小型市場，小朋友可以學習當生產者，做出自己的產品來賣，也可以買別人的產品。這次活動從山泉班作薑餅人開始，大家需要學會讀英文的食譜，透過度、量、衡找數學，並且扮演社會課中生產者、消費者、分解者的角色，還要學習開店的禮儀和規矩。這個活動過後，還可以繼續探索校園裡的一些需求，學習怎樣透過度、量、衡的應用解決問題。

預告完畢，老師讓孩子玩「9的九九乘法三重唱」。這個活動之前就練習過，當時是所有人一起齊唱，孩子們非常喜愛。「9的九九乘法」在不停反復的練習之下，印象更深刻更熟練了，對於每個數的名稱和動作也都很清楚：擔任被乘數的人雙手合十、擔任乘數的人兩手交叉代表乘號、擔任積的人雙手在胸前平形排出等號。

老師重新幫孩子釐清這三個數的名稱與動作時，也檢視每個孩子知不知道自己要唸什麼？「被乘數固定是9」、「乘數從1到9」，介紹到積時，老師更考考孩子「積」這個字怎麼寫。確認孩子都清楚每個數的意義與值後，今天不同於之前的大合唱，而是從三重唱(一人當被乘數、一人當乘數、一人當積)、二重唱(一人當被乘數與乘數、一人當積)到獨唱(一人分飾三角：被乘數、乘數、積)。

隨著練習次數的增加，孩子們愈來愈熟練，尤其是二年級的孩子，三人都可以獨唱數到9×20了呢！一年級的孩子，在三重唱、二重唱上，表現的都很不錯；一旦要獨唱，一下子要兼顧三部：乘數不停加一，積不停加10、減1，容易顧此失彼。老師讓一年級的孩子在臺前比動作(一人分飾三角)，二年級坐在位置上幫他們「配音」，在這種多感官的學習環境之下，孩子很快就倒背如流。一年級的孩子聽著二年級孩子在念，嘴巴也不由自主地跟著「對嘴」了。

雅歌的孩子最近數學活動是低年級的9/9乘法，中高年級則是20/20乘法，低年級耳濡目染之下，已經自我挑戰不落人後。當老師讓孩子一到三人一組，在白板上寫一遍9的乘法，老師只要他們從9×1寫到9×9，但大家都一路寫到9×20。觀察孩子們寫的過程，看得出來他們非常清楚乘數就是不斷地往下數，積要不停的加10減1或加9，可見他們對這9的乘法是有感覺，式子對孩子而言是有意義的。

這堂課結束了，然而孩子對「9的乘法」卻是欲罷不能…。

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這堂課的設計非常精準，從生活預告「開店」活動切入，預埋了日後的數學應用情境，也點出「度、量、衡」與實務的連結。但精彩的核心在於接下來的「九九乘法三重唱」活動：乘法不再是表格記憶，而是分工合作的三人演出。

老師刻意區分三個角色（被乘數、乘數、積），讓孩子不只是背答案，而是真正理解「乘法中三個數各自扮演的角色與意義」。從三重唱到獨唱，是一條自然的進階路徑，每一層練習都壓縮了教師提示、拉伸了孩子主動運作的空間。

值得一提的是，這不只是「記住」9×幾等於幾，而是「身體裡有節奏，腦袋裡有規律」。從動作、口訣、到白板上的運算，學生從操作中發現：「乘數往下加一、積跟著加九」，或用「加十減一」的視角來構建答案。這是一種從模式中培養出來的靈活理解。

老師還讓低年級孩子扮演動作、高年級孩子配音，這種多層次支援與參與方式，讓不同年段的孩子都能找到自己的學習節奏，也在互動中產生學習動力。一年級的孩子在耳濡目染下「對嘴」九九，二年級的孩子挑戰9×20，一條乘法表，變成了社群中的共同語言與默契。

這堂課沒有死背，沒有默寫，卻讓乘法從紙上進了手上、嘴裡，甚至心裡。
原來，只要學得有節奏，數學也能唱成一首歌。

湘如11/22/2010

課堂一開始，老師告訴孩子們今天要去「測量」，但是要孩子們在傳統有數字的尺以外選一個自己最心愛的寶貝當「尺」。孩子們心愛的東西各不相同，大家興沖沖地，帶著寶貝從教室出發。

走到油桐班門口，老師要他們先實習一下，量量油桐班的玻璃門有多寬？由於有些人的寶貝小小的，花不少時間才量完，所以在正式挑戰之前，孩子們決定要換一個大一點的「尺」。看到他們全部都換了較大的「尺」，老師決定再讓他們試著量量油桐班的班級牌(A5大小)，這下子，他們發現尺比測量對象大，開始思考應該怎麼處理？

老師要他們分組，兩人一組，用兩把尺，問他們該怎麼分組比較好？柔禕建議，一個人用大尺，另一個人拿小的尺。因為有七個孩子，所以老師允許有一個人自己一組，可以同時拿一個大尺和一個小尺。珈嘉自己一組，她似乎很執著於她的寶貝，就只選了一個圓形的別針。

大家跟著老師走到四季會館的外頭，今天的任務是測量行政室的玻璃門，山泉班的孩子要幫這片落地窗做窗簾，以免辦公室裡的老師們下午西曬。老師一聲令下，各組紛紛開始拿起大尺量了起來，測量的結果沒有一組可以整除，都有餘數，例如24又…。老師要他們用小尺接著量，孩子們以為是換小尺重新量一次，各組開始拿著小尺埋頭苦幹。老師讓孩子們停下手邊工作，提醒他們是用大尺先量，最後剩下的用小尺量。

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這堂課沒有教出公式，卻讓孩子真正理解什麼是「單位」、什麼是「測量」、什麼叫「用自己能掌握的方式解決問題」。當孩子願意退一步重量、換一個角度重新估高，他們已經不只是學數學，而是在思考怎麼面對現實的複雜。

原來，尺不是用來看數字的，是用來看世界的。

孩子們懂了，重新用大尺量，最後不足一個大尺時，用小尺繼續量，結果答案變成一個複名數，例如：23大尺6小尺，原來老師透過任務教他們解決問題，也因此發現了複名數是這樣來的。欣儒的尺是一本書，家蓁的尺是一個筆芯盒，欣儒量到最後的一段不夠一個大單位，家蓁用她的筆芯盒繼續往下量，結果還是不能整除，老師提示把書本再往回推一個大單位，剩下的用小尺量，就這樣回推兩次，剩下的距離終於可以整除了。

珈嘉對自己的尺有點不滿意，一來太小了，二來又是個圓形，不太能確定是否用到直徑在做測量。老師建議她增加鞋子當大尺，剩下的再用圓形別針測量–這次她接受建議，開心地完成任務。

窗簾的長度量完了，寬度卻是問題，因為這是挑高的建築，天花板很高，孩子們沒有長竿子，也沒有梯子爬上去量。老師說：「想想看，有沒有什麼可以幫我們找到天花板高度，而我們又可以量得到的？」走回教室的路上，老師讓孩子們觀察樓梯，看看有沒有辦法量出屋子的高度？孩子們腦力激盪後說：「可以量樓梯。」老師問：「量哪裡是樓梯的高度？」有人指出樓梯的斜邊，有人指出沿著樓梯一階一階往上量(水平階面與垂直階面)。最後柔禕從側面看，發現只需要量每一階的垂直階面。老師讓孩子們尋找符合階梯高度的「尺」，把樓梯的高度全部量了一遍，其中有一段找不到適合的長度時，大家都把鞋子長度用上了呢。有過這個動作，孩子對樓梯的高度有了更深課的印象。

這樣一堂沒有課本的數學課，透過觀察、操作，孩子們對數學與生活產生了關連，學到的是活的、帶得走的知識­，並且學會解決現實中出現的問題。

—雅歌數學                芳瑜2/22/2012

今天的數學課，一開始老師複習數線的條件，大家異口同聲的說：起點、單位長、終點、還有箭頭方向。老師拿了一張方格紙給孩子們，要他們以這些條件畫出一條8單位的數線，小朋友們就開始在紙上作圖。第二題要畫出一條20單位的數線，小朋友開始有疑問:紙張夠大嗎?畫畫看好了…

第三題，老師請小朋友們畫36單位的數線，他們發現格子不夠，有孩子就想到單位不一定要1作為單位。大家的紙上出現了不同數字的單位，有人2個一數，有人3個一數，還有人6個一數，甚至12個一數，老師的策略使孩子無意間發現了因數，但她不是在教因數，只是要給孩子一些前備經驗。而一個加法的數線77+88，孩子們不得不約分，變成7+8，孩子們自動把一個單位變成11，因著單位的約分，公因數也被發現了。

接著，老師要孩子在學習單做發現。填入百宮格的空白數字時，藉由數字的遞增孩子發現有兩條數線(水平軸與垂直軸)，往上數加一，往右數加十。

填完後，老師讓孩子把百宮格的數字從0開始逐一讀出，每遇到換行就要舉手，孩子們念著，遇到超過9，他們舉手象徵換行，進位的概念在動作中被肢體化。

老師用垂直數線(y軸)代表各個10中間的0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，讓孩子發現單位是1；

再以水平數線(x軸)代表100中間的10,20,30,40,50,60,70,80,90,B;讓孩子發現單位是10，

這就是老師們要和孩子們分享的"進位"思維。

接著，老師引導孩子發現數線有方向，往右會越大，往左就越小；往上越大，往下就越小。

下課前，老師拿了一盒錢幣，要孩子們算算到底有多少錢在盒子裡呢？孩子們開始分配：你們算1元的，我們算5元的，一元的太多了……。老師鼓勵孩子試試能不能用百宮格來計算，最好是一眼看穿。低年級的小朋友很聰明的利用桌上的百宮格，孩子們把1元一個一個放到格子裡面去，只要排滿了整個格子，一眼就可以看穿是100個，一行就是10個，這其實就是上次孩子在正方形單元中的發現1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100

不一會兒，所有的孩子們都把錢幣算完了。

短短的四十分鐘課程，學到了好多技能，今天孩子們和我的收穫都好多啊！下課鐘響了，孩子們還堅持著要把硬幣算完，迫不及待的希望下堂數學課快點來了。