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──分數概念的打底與深化

撰文｜湘如 & 明芳　上課日期｜2010/10/20

一、課堂敘事

課堂延續前一日的分數學習單，老師一開場就用幽默語言挑起孩子們的注意力：「一眼看穿是用一隻眼看嗎？還是兩隻眼看？」孩子笑著回答：兩隻眼，但也開始意識到「一眼看穿」的真正含義：迅速辨識與理解。

接著，老師拿出不同分割方式的分數卡，疊上透明片，孩子從2等分、3等分、5等分的橫豎交錯圖像中，具體看見「5×2=10」與「3×2=6」的乘法概念。這不是單純的算式演練，而是視覺直觀與操作手感交織的數學建構。

然後，老師設計一個「分組困境」的真實情境：七個人要分成幾組才公平？孩子發現無論二組、三組、四組都不均等。老師透過猜拳決定分組與選人，延伸出一場關於「如何讓人數、分數與公平形成關聯」的探索。

每組獲得不同的分數派（圓形分割卡）：1、1/2、1/4、1/3 等。老師提問：

• 兩個1/4等於1/2嗎？
• 三個1/3與一個1/2相比，哪個大？
• 幾個1/6可以湊成1？

孩子們拿出手上的分數卡實際疊合比對，不僅觀察比例，也學會了合成、替換與推理。在小組中，他們討論、操作、挑戰各種可能的組合方式──分數不再只是抽象數字，而是一個個可以觸碰、排列、替換的具體圖像。

最後的學習單活動，孩子們依照圖中圓形扇形的面積陰影，先用眼睛猜，再用實際教具比對驗證自己的判斷。當老師拋出問題：「1/2與1/3哪個大？1/3與1/4呢？」孩子們毫不猶豫地回答，老師趁勢導入生活語言：「一塊餅愈多人分，每人分到的愈少」，再補上成語「僧多粥少」，讓數學知識與語文涵養交會成為深刻的經驗。

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二、亮點整理

• 用實體分數派建構分數直觀：比起僅靠算式，孩子們透過操作與拼湊，發展出屬於自己的理解模式。
• 視覺×操作×語言多元刺激：從圖像辨識、手部操作，到口頭討論與生活語言，全面開啟孩子的學習感官。
• 強化分數等值、加總與轉換概念：讓孩子在「做中學」中自然體會多組合成一、換算與替代。
• 生活語言轉化抽象數學：「一塊餅愈多人分」成為解釋分數大小的最佳例子，也為數學注入溫度。

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三、課後反思

這堂課既紮實又詩意。分數在孩子眼中，不再是符號堆疊，而是可組合、拆解、轉換的拼圖。老師以情境導入與具體操作為橋樑，把「抽象的數學」轉化為「可觸碰的思維」，進一步引導孩子進入理性推理與感性連結的學習場域。孩子們在操作中學會了觀察、驗證與溝通，數學，也因此被賦予更多的可能與生命力。

撰文｜湘如　上課日期｜2010/10/18

一、課堂敘事

課堂伊始，老師從棋盤左上角開始，用一顆黑棋為中心，依規律地環繞排列白棋與黑棋。孩子們直覺地觀察與模仿，成功排出六至七層的圖形。老師引導他們回看「中心是靶心」，請孩子觀察這樣的棋子排列，共形成幾個正方形。

接著老師舉出「高級數學」：

• 2×2 = 1＋3
• 3×3 = 1＋3＋5
• 4×4 = 1＋3＋5＋7

雖然學生尚未完全理解式子背後的原理，但透過磁條與圖形的結合，他們已能從圖像出發去接近數學思維。

然後，老師帶領學生以直尺在百宮格上圍出不同的乘法方塊（如2×2、3×2、4×3），先數出格子數，再回到乘法表上對應乘積，驗證數量與計算的相符。透過重複操作，孩子們不再只是背誦乘法，而是從「面積」中體會乘法的本質。

接下來進行小組合作遊戲，老師強調必須先「數出格子」再計算乘積。當第一題（5×7）無組得分時，老師強調：數學不是直接給答案，而是需要「過程」。第二題大家謹記要求，全部答對，也理解了規則的價值。

最後，透過「八坪土地排方塊」與「磁磚站隊遊戲」，老師帶出不同排列方式：4×2、2×4、1×8、8×1等。孩子從錯過中回頭發現可能性，進一步理解乘法的交換律與乘積的構成方式。

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二、亮點整理

• 從圖像到概念的遞進設計：透過圖形、磁條、棋盤等操作，讓抽象的乘法概念具體可見。
• 注重操作順序與思考歷程：數棋子 → 查乘積 → 驗證，孩子們學會一步步接近答案。
• 鼓勵探索與協作：遊戲與小組合作中，孩子發現不同解法，拓展數學的視野。
• 從排列探索交換律與因數分解：排隊遊戲使孩子實地理解「相同乘積，不同因數」的概念。

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三、課後反思

這堂課展現了乘法不僅是表格與公式，更是圖形、空間與邏輯的交織。老師讓孩子們從操作中找規律、從失敗中修正步驟，讓每個孩子都能用自己的方法抵達數學的核心。百宮格成了孩子探索乘法世界的入口，也讓乘法教學有了全新的深度。

撰文｜明芳　上課日期｜2010/10/20

一、課堂敘事

課堂從一張分成三等分的分數卡開始。老師問：「你們是一眼看穿的嗎？」孩子們答：「是兩隻眼看！」老師笑著請他們用一隻眼試試，大家發現結果一樣，也更明白「一眼看穿」的意思是瞬間理解，而非字面意義。

延續九九乘法百宮格的經驗，老師出示交疊透明分數卡。當孩子看到「5條直線＋2條橫線」，能自信說出：「5×2=10」，而不只是數格子。他們甚至能用手勢確認是「行乘以列」，展現出空間感與邏輯思維的結合。

轉換教具後，老師拿出分數派，讓孩子操作圓形卡，探索：

• 幾個1/2湊成一個圓？
• 幾個1/4湊成1/2？
• 還有哪些方法可以湊成1？

孩子們分組挑戰「合成1」的任務：

• 珈嘉這組用1/3＋1/6湊成1/2，再找出1/3＋1/3＋1/3等組合。
• 定軒這組用1/4＋1/3＋1/6＋1/4 這種較複雜的方式達成整數。

每組都努力嘗試不同組合，孩子們發現：答案並不唯一，卻都成立。他們也學會了從錯誤中修正、從討論中思考。

接著，老師請孩子拿出學習單，猜測每個分數派圖形的分數，並用實際教具比對。這時，學生已經能自己判斷與驗證，不再依賴老師的引導，而是內化為自己的理解。

最後，老師問：「1/2圓和1/3圓，哪個大？」孩子們齊聲回答：「1/2！」老師用「僧多粥少」的成語補強概念，讓數學連結到生活語言，也讓孩子更深刻記得：同一塊餅，分得越多人，每人越少。

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二、亮點整理

• 概念深化，循序建構：從九九乘法延伸到分數行列概念，結合圖像與語言。
• 鼓勵多解，尊重差異：透過多種方式湊成整數，孩子理解數學不只一種方法。
• 實作引導理解：從猜測到驗證，孩子學會如何判斷、推理與確認自己的答案。
• 語言與文化結合：用成語強化抽象概念，使學習不僅深刻，也帶有文化溫度。

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三、課後反思

這堂課的核心不只是教會孩子分數的計算方式，而是讓他們透過動手操作、實際驗證，逐步建立屬於自己的數學理解。孩子們不是被動聽講，而是主動發現與組合。當數學與遊戲、語言與生活交織，學習才真正發生。

撰文｜湘如　上課日期｜2010/10/21

一、課堂敘事

今天，孩子們圍成一圈，在九塊巧拼組成的正方形周圍，開始分數派的遊戲。有人嫌太大，說四塊就好，但老師保留了九塊的完整性，讓中間的空間能更清楚呈現分數的活動。

遊戲中，孩子每輪依序拿取圓形或扇形的卡，愈大片的卡愈快能湊成一個圓，孩子們自然而然地發展出分類與組合的策略，邊拿邊排，試圖看出自己還缺什麼。

當中心卡片剩下約十片時，遊戲進入交換階段。一開始規則嚴格，每次只能「一換一」，孩子們嘗試湊出同樣分母的組合；接著，老師開放孩子們挑戰異分母的湊法。孩子們發現：

• 1/5 可以與 1/10 交換、
• 1/3、1/6、1/9 有對應關係、
• 1/2、1/4、1/8 可以組合。

規則逐漸變化，老師開放「只丟不拿」、「只拿不丟」的模式，並命名為：「成全」與「完滿」。這時，評分也不只限於誰先完成，更包含誰湊成最多圓、誰使用最多卡。每個人都有機會在某個領域成為第一名，也讓所有孩子都在遊戲中被看見、被鼓勵。

這是一場關於分數的課，也是一場關於可能性與多元價值的課。

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二、亮點整理

• 數學概念建構：透過實體操作，理解分數加總與異分母湊整的策略。
• 彈性規則引導：遊戲規則逐層開放，讓孩子在挑戰中學習策略與邏輯。
• 多元評量設計：設立多項評分標準，讓每位孩子皆有機會獲得成就感。
• 民主與共好精神：課堂設計不鼓勵單一勝利者，而是讓多樣成為可能。

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三、課後反思

這堂課讓人深刻感受到，數學不只是唯一的答案，而是充滿變化與選擇的過程。當孩子能在「湊不滿」、「換不完」的過程中學會等待與嘗試，當他們知道「不是最快才是最好」、「不是唯一才是第一」，他們的學習旅程就更厚實了些，也更接近未來的樣貌。

撰文：湘如｜2010/10/25

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課堂敘事

「今天要挑戰很難的題目，你們願意嗎？」老師一開口，孩子們便興奮地應聲：「要！一定要很難喔！」

老師先讓珈嘉與佳婕在百宮格棋盤上排出數字32，接著請大家將其中8顆白棋換成黑棋。孩子們立刻察覺：原本32顆白棋變成24顆白棋，黑棋正好是8顆。雖然我心中已經明白這是在鋪陳「減法」的概念，但老師並未明說，而是邀請孩子們繼續操作與觀察。

接著，老師讓孩子兩兩一組操作數棒：三支10和一支2來代表32，然後提出挑戰：「你要從32裡拿出8，該怎麼做？」孩子們試著用數棒來「換」──從10中換出8與2的組合，手腦並用，逐步推演，老師也在白板上一一書寫孩子們的思維歷程。

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課堂亮點

• 透過具體教具操作（棋子與數棒），孩子從動作中「經歷」借位減法，而非背誦公式。
• 老師以換棋、換棒的設計，引導孩子理解 32−8 的過程，將借位過程圖像化。
• 課堂上問題的設計與挑戰性，激起孩子強烈的參與慾望與學習興趣。

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課後反思

老師從未直接告訴答案，而是引導孩子去「發現答案」；從未搶在孩子前面「解釋概念」，而是耐心陪伴他們走過那段混亂與思考的過程。當借位的抽象邏輯，變成可操作的棋子與數棒，那一瞬間孩子臉上的光亮，就是他們親自經歷「發現」的時刻。

老師將驚喜留給孩子，也讓孩子更深刻地擁有屬於自己的數學理解。

作者：明芳｜紀錄日期：2010/10/6

在 AB 組的數學課上，孫老師開場提出一個簡單卻耐人尋味的選擇：「今天的記分板，要加分還是扣分？」孩子們表達不同意見，老師順勢將孩子分為兩組，各自使用加法或減法記分板。加分的孩子在表現好時能獲得獎勵；減分的孩子一開始滿分，卻要小心別讓棋子被扣掉。這樣的設計，不只是教數學，更是在設計心理上的試煉。

🍰 分蛋糕的難題：探索平分與分數

老師拿出一盒盒蛋糕模型，有的被分成兩份、有的九份，提出問題：「如果三個人要平分蛋糕，該選哪一盒？」
孩子們開始思考，有人說九等分的比較方便，因為三人一人可拿三塊；也有人嘗試將兩等分的蛋糕再切小……孩子們的思考從真實生活出發，逐步進入「分數」的概念。

👥 奇偶數與平分：從直覺走向理解

老師問：「這盒五塊的蛋糕，兩個人可以平分嗎？」孩子一開始說可以三塊和兩塊分配，但老師追問：「這樣公平嗎？」進而引出「平分」的概念與「奇數不能平分」的直觀印象。
透明分數卡一張張地被貼上白板，孩子們親手操作、實際分配，慢慢建立起奇數與偶數的感知。

👐 身體記憶進場：奇偶數的律動遊戲

遊戲開始！奇數舉單手彎身，偶數雙手平舉，孩子們在節奏中快樂記憶。進階版活動中，分組挑戰百位數、千位數的奇偶判別，學習不再只有靜態文字，而是全身參與的歡樂動作。

🥁 音樂化的倍數練習

拍一次說二的倍數，拍兩次說三的倍數……透過節奏與韻律結合，讓倍數成為音樂般的自然語言。數學變成了節拍，孩子們的身體自然而然記住了乘法的脈動。

🔍 對稱概念的延伸與探索

老師再次回到實物：椅子、剪刀、注音符號……「什麼可以平均切一半？」孩子們開始討論並嘗試驗證。用鏡子檢查是否對稱，成為一次對稱性概念的視覺與空間操作學習。

🎯 收束與提問

老師不給標準答案，而是不斷地讓孩子提問、實驗、找出規律。從蛋糕分配到對稱圖形，孩子們在挑戰與互動中建構概念，也在人際磨合中學會共學與尊重。

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🧾 本課重點整理（供教學使用）

• 📌 核心概念：平分、奇偶數、倍數、對稱
• 🎲 活動設計：
  • 加分／減分記分板 → 情境導入與分類體驗
  • 蛋糕分配 → 引導出分數與平分概念
  • 奇偶數身體活動 → 感官學習
  • 拍子倍數遊戲 → 音樂智能結合
  • 注音對稱活動 → 空間對稱探索
• 🧠 引導方式：
  • 重視提問與等待
  • 不急於給答案，保留發現的驚喜
  • 接納孩子的情緒與個別差異，讓學習在自由與尊重中進行

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湘如10/14/2010

今天的學習單是｢九九乘法表｣，在開始之前先復習了行與列，老師要學生拿出一把直尺，在九九乘法百宮格裡，找出行2、列2與列4。確認大家都懂得行與列的不同後，大家玩一個遊戲，要很快地找到老師要求的行列，並說出行列內的倍數，例如：老師說
｢行8｣–學生回答｢8.16.24.32.40.48.56.64.72｣、
｢列1｣–｢1.2.3.4.5.6.7.8.9｣、
｢列9｣–｢9.18.27.36.45.54.63.72.81｣。

老師還用英語做示範，帶著大家念了行3；聽完老師的示範後，孩子們也躍躍欲試，大家一起念了行5；因為不是所有人的英文都可以跟得上，老師事前就說｢中文或英文都可以｣，老師總能對學習進度不同的孩子給予包容。

大家念完行5，老師請柔禕用英文念一次做為示範，因為把forty念得有點像fourteen，老師帶著大家用英文念了13、14、15、16、17、18、19，這些teen結尾的字，更強調英語中的｢青少年teen-ager｣指的就是十三到十九歲的人。

搭配著新東西｢九九乘法百宮格｣，大家一起拍念之前學的二的倍數、三的倍數，也就是行2、行3， 從全部人一起拍念，到最後一年級拍手、二年級念出三的倍數，最後到大家都不拍手，一年級照表、照譜讀，二年級試著用背的，這樣一兩次後，大家念得愈來愈順 暢。我也發現過程中，老師都是讓大家一起做，依照學習速度不同，給予不同的挑戰，不會在還不熟練的階段，讓孩子一個一個念，我想是大家一起，孩子出錯可以 參考他人修正自己，不會在大家面前出錯，造成陰影尷尬。

在 加分時，老師要學生在老師每加一個棋子時，就往上數一個三的倍數，連原本加分的簡單動作，都可以變成複習。熟悉完三的倍數，進入四的倍數。一開始，由老師 彈舌三次，學生往上數四的倍數，這樣的節奏習慣後，學生照著同樣的節奏自己拍三次，往上數一個倍數。有了之前的預備，上一節課會拍到不知道拍了幾下或拍到 哪裡的情形不見了。

之後，兩個人一組，利用兩把直尺對齊縱軸、橫軸，找到老師說的乘式，例如：
｢5×2｣–一把尺對著列5、另一把尺對著行2，找到乘積10；
｢4×2｣–一把尺對著列4、另一把尺對著行2，找到乘積8；
｢8×9｣–一把尺對著列8、另一把尺對著行9，找到乘積72…。
老師更藉機幫孩子機會教育，如何正確的、穩定的使用工具。在試了好幾個不同乘式，了解大家可以依照乘式找到乘積之後，老師要小組兩個人繼續合作，一個人固定橫的尺在列2或列3，另一個人移動直的尺從行1到行9，讀出2與3的九九乘法，並一一上台供老師檢驗是否能正確使用九九乘法百宮格。雖然老師不斷的反復練習，但每一次都增加一點難度，孩子並不會覺得無聊，我看到所謂的「挑戰性與可行性兼具」，也看到這堂課的目標：反復練習到不知不覺記下來。

今 天的數學課，老師用英語浸潤的方式，要孩子們假裝今天是在美國的小學裡上課。老師每一句話都用英語先說一遍，當孩子不太理解時，再用中文說一遍。課堂中還 有幾個特別不一樣之處，像是家蓁對定軒不太和諧，說了不太好的話，老師問家蓁要不要對定軒說對不起？不同於一般認為要大聲說才有誠意，老師讓家蓁可以小聲 說，讓定軒聽見就好。老師肯定大家「願意擦掉家蓁不小心做出錯誤的畫面」，更肯定家蓁，「能在老師提醒下，願意改過，這是尊重老師的表現。」此外，老師在 加分時讓孩子配上聲音，老師總是找機會讓孩子動一下，如此一來，他們就很坐得住。

AI
這堂課的設計，有如搭建一個階梯，讓孩子不知不覺往上爬。從基本概念的釐清（行與列）到聽口令找數，再進入倍數節奏拍打，最後以工具操作九九乘法表，老師一步步引導孩子靠近「熟練乘法」的目標。

老師不只是教乘法的「表」，而是讓孩子自己找出數列規律、建構位置感、累積動作記憶。特別是利用直尺對齊找乘積這一段，是一種圖像化的方式，幫助孩子理解「乘法是橫與直的交會」──這正是九九表背後的空間邏輯。當孩子從「背乘法」轉向「看乘法、找乘法」，學習變得更有意義。

課程中穿插的語言切換（中英文）、聲音節奏（拍子、數數）、肢體參與（直尺、加分數列）、甚至情緒處理（人際互動中的尊重與修復），讓這堂課跳脫紙本練習，成為多感官、多面向的統整經驗。老師的「容錯空間」設計得恰到好處──錯誤可以即時修正，不必羞愧；進步可以被看見，也可以小聲地肯定。

特別值得一提的，是老師的節奏掌握與階段性挑戰設計。反覆練習但每次加入一點變化：從齊念→分角色→搭配拍手→加英語→用直尺→自己試→上台檢核，每一環都自然承接，既無冷場，也無壓力。

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真正有效的教學，常常是這樣看似平凡的反覆，
但老師在每一個「重來一次」中，偷偷升級了任務的難度。